Question

124 ve 185 sayılarının bir x doğal sayısına bölümünden kalanlar eşittir. Buna göre x doğal sayısının 10 a bölümünden kalan kaçtır?

Comments

Lütfen site kurallarına istinaden sorularınızda nerede takıldığınızı, nerelerde zorlandığınızı yanıt almak adına belirtiniz.

Answer 1

Bölüm algoritmasndan;  $124=xa+b$ ve $185=xc+b$ (tek türlü belirli $a,c,b$ vardır) yazabiliriz. Buradan $185-124=x(c-a)$ elde edilir. $61$ asal sayı olduğundan $x=61$ olmalı. $10$ ile bölmümünden kalan $1$.

Answer 2

Genel olarak denklik yani kalandaşlık tanımını kullanarak çözelim $a$ ve $b$ sayılarının $x$ sayısına bölümünden kalanları eşitse $a\equiv b \pmod{x}$'tir. 

İspatlayalım: (Tamsayılarda çalışıyoruz)

$a=px+r_1$ ve $b=cx+r_2$ olsun, eğer durum bu şekildeyse $a\equiv b \pmod{x}$,  $x\mid (a-b)$ anlamına geldiği için $a-b$'yi inceleyelim. $a-b=x(p-c)+r_1-r_2$ 

kalandaş oldukları yani $r_1=r_2$ olduğu için $a-b=x(p-c)$ oldu. O zaman $a-b$ $x$'nin bir katıdır ve $x\mid (a-b)$ demek ki $a\equiv b \pmod{x}$ 

Bunu bu soruya uyarlayacak olursak $124\equiv 185 \pmod{x}$ olur bu durumda $x\mid (185-124)\implies x\mid 61$ demek ki $x$ $61$ sayısının bir katı olmalı, bu da $61$ asal olduğundan ötürü $x=1$ veya $x=61$ durumlarını mümkün kılar (ikisinin de $10$'a bölümünden kalan aynı ancak $1$'in mod olarak alınması da anlamsız) bu sebepten $x=61$ üzerine $x\equiv 61 \equiv 1 \pmod{10}$ deriz...