Bir polinomun tersini nasıl bulunur?

Question

$p(x)$ bir polinom olmak üzere,

$(x-2).p(x)=x^2-ax+6$ olduğuna göre, $p(2)$ kaçtır?

ÇÖZÜM: $x=2$ eşitliğini kullanarak $a=5$ buldum. Daha sonra eşitliğin her iki tarafını soldan $x-2$ polinomunun tersi ile çarpıp $p(x)$'i yalnız bırakmak istiyorum. Sorum şu: $x-2$ polinomunun tersi olan polinom nedir? 

Not: Polinomun katsayıları cisimden geliyor. 

Comments

$x-2$ polinomunun bir tersi olsa, $y$ de buna, $x-2 \times y= 1$ vermeli. Bu $y$, şöyle:
$y= a_n x^n + a_{n-1} x^n-1 + \dots + a_1 x + a_0$.
 $x-2 \times y = a_n x^{n+1} + a_{n-1}x^n + \dots + a_1x^2 + a_0 x -  2a_n x^n -2 a_{n-1} x^{n-1} - \dots - 2a_1 x - 2a_0$
$= a_nx^{n+1} +(a_{n-1}-2a_n)x^n +\dots +(a_1 - 2a_2)x^2 +(a_0-2a_1)x-2a_0 = 1.$ Soldaki ve sağdaki polinomların dereceleri eşit olmalı, ne zaman olur bu, $a_n = (a_{n-1} -a_n )= \dots =(a_0-a_1)=0 (*)$ ise.
Şimdi $a_0 = -\cfrac{1}{2}$, o zaman ne gelecek $a_0 - a_1= -\cfrac{1}{2}- a_1 = 0 \implies a_1=-\cfrac{1}{2}.$ $(a_1 - a_2)=0 \implies -\cfrac{1}{2} -a_2 = 0 \implies a_2 = -\cfrac{1}{2} \implies \dots \implies a_n = -\cfrac{1}{2}.$Fakat $a_n= 0$ olmalı $(*)$ dan dolayı. Çelişki. Tersi yok.

---

Cevap çok açık teşekkürler. Peki o zaman bu soruyu nasıl çözebilirim? $p(x)$ polinomunu nasıl yalnız bırakabilirim?

---

Katsayılar bir cisimden geldiğine göre, iki polinomun çarpımının derecesi bu polinomların derecelerinin toplamına eşit olur. Bunu kullanarak $x-2$'nin tersi olan bir polinom olamayacağını söyleyebilirsin. Ama eğer formel kuvvet serilerine geçersen bir ters bulabilirsin.

Buna benzer olarak lineer cebiri ele al. $A$ matrisi tersinir olmasa bile bazı $b$ler için $Ax=b$ sisteminin çözümü bulunabilir.

Bir de bu soruyu lineer cebir yardımıyla da çözebilirsin. Zira $x-2$ ile çarpmak polinom uzayında lineer bir operatör olur. Matrislerle oynayarak çözebilirsin. 

---

$(x-2)p(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$

 $\Rightarrow p(x)=(x-3)\Rightarrow$  $p(2)=-1$

---

@Okkes Dulgerci, $2$ tanım kümesinde değil ki? $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2} p(x) = -1$ deriz en fazla.

---

$(x-2)p(x)^{-1}=1\Rightarrow p(x)^{-1}=\frac{1}{x-2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-x^n}{2^{n+1}}$

$(x-2)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-x^n}{2^{n+1}}=1$

$(x-2)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-x^n}{2^{n+1}}p(x)=(x^2-5x+6)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-x^n}{2^{n+1}}$

$p(x)=(x^2-5x+6)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-x^n}{2^{n+1}}$

$p(x)=x-3$

$p(2)=2-3=-1$

---

Sayın Okkes Dulgerci hocam, açtığınız seri $x < |2|$ iken yakınsıyor. Bu adımla $p(2)=-1$ diyebileceğinizi düşünmüyorum, düşüncem hala diyebileceğimiz şeyin en fazla $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}p(x)=2$ olduğudur.

---

@Kirmizi Burada analitik bir şey yapılmıyor ki, yapılan şey tamamen formel.

---

Yani $p(2)$ diye bir şeyden bahsedebiliyor muyuz?

---

Evet. $p$ bir polinom çünkü. Hangi cisimde olursan ol, farketmez. Polinomlardan cismin kendisine "evaluation" (değerlendirme) doğrusal fonksiyonunu yazabilirsin. 

---

 Ekleyeceğim bir şey yok, cebir bilgim oraya kadar gitmiyor.

---

$a=5$ bulduktan sonra $p(x)$ polinomunu bulmak için eşitliğin her iki tarafını $x-2$'ye bölelim.

$x^2-5x+6$ polinomunu çarpanlarına $(x-3)(x-2)$ olarak ayırırız.Daha sonra $p(x)$'i yanlış bırakırız ve karşımıza

$p(x)=\frac{(x-3)(x-2)}{x-2}$ geliyor bu polinomu da sadeleştirdiğimizde $p(x)=x-3$ olur diye yapamaz mıyız? (10. sınıfta gösterilen polinomda bu tür soruları bu şekilde çözerdim,ne kadar doğru bilmiyorum.Büyük ihtimalle yanlıştır,doğru olsa zaten hocalarımız yazmış olurdu diye düşünüyorum.)

---

@baykus Doğrudur, yaparız. (Ben aşağıdaki cevabı yazarken a=5 bulunmuş olduğunu görmemiştim). 

Ama mesela katsayılar $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$'den geliyorsa yapamayız.

---

Lisans düzeyi olduğuna göre biraz daha soyut yaklaşırsak

( Bir cisim üzerine) polinomlar halkası tek tip çarpanlara ayrılma (UFD) bölgesidir ve 1. derece polinomlar indirgenemezdir.

Answer 1

$k$, üzerinde çalıştığın cisim olsun. $P_n(k)$, derecesi en fazla n olan polinomların uzayı olsun. Bu notasyonlarla $x-2$ ile çarpmak, $P_1(k)$'den $P_2(k)$'ye doğrusal bir fonksiyon tanımlar. Bu doğrusal fonksiyonu $f$ ile gösterelim.

$\{1,x\}$, $P_1(k)$ için bir taban oluşturur. Dolayısıyla, $f$'nin görüntü kümesi $$range(f) = span\{f(1), f(x)\} = span\{x-2, x^2-2x\}$$

olur. Bu iki polinom birbirinin katı olmadığı için, lineer bağımsızdırlar. Buradan birkaç sonuç çıkar.

1) $f$ fonksiyonunun görüntü kümesi iki boyutludur.

2) Dolayısıyla gerçekten de $x^2 - ax + 6$ polinomunda $a$'yı bilmemize gerek yok.

3) Rank-nullity teoremini kullanarak, $f$'in birebir olduğunu görebiliriz. Dolayısıyla, çözüm varsa bir tane olmalıdır.

4) $p = x-3$ bir çözüm veriyor. Dolayısıyla $p = x-3$ tek çözüm olmalı.

5) Eğer $x-3$'ün bir çözüm olduğunu göremeseydik şöyle bulabilirdik:

$$x^2 - ax + 6 = A(x-2) + B(x^2 - 2x) = Bx^2 + (A - 2B) x -2A$$

Katsayılara bakarak $B = 1, A= -3$ olduğunu kolaylıkla görebiliriz. Dolayısıyla 

$$x^2 - ax + 6 = A(x-2) + B(x^2 - 2x) \\= A f(1) + B f(x) = f(A + Bx) = (x-2)(A+Bx) \\= (x-2)(-3 + x)$$

6) Aslında ben çok uzattım. Tek yapman gereken $x-2$ ile çarpmanın birebir olduğunu iddia etmek. Bu da $k[x]$'in bir tamlık bölgesi olmasıyla açıklanabilir. Ya da daha da basit bir yolla. Ama aslında bunlar hep lineer cebirle de halledilebiliyor.