Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.6k kez görüntülendi

n elemanlı bir kümeden kendisine giden, sabit noktası olmayan ve iki kez uygulandığında birim fonksiyonu veren kaç birebir ve örten fonksiyon vardır?

Lisans Matematik kategorisinde (691 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.6k kez görüntülendi

Permütasyon grupları (Sn) ile ilgili bazı basit bilgilerle cevaplanabilir.

İpucu: {k,f(k)} ikililerini düşün. n tek ise böyle bir fonksiyon yoktur.


Senin dusuncen nedir, Cagan?

n tek ise, ya sabit noktası olmak zorunda olur, sabit noktası yoksa da fonksiyon iki elemanın yerini değiştirdiğinden karesi kendisine eşit olamaz. 

Çift n ler için genel bir formul nasıl bulunabilir?

Fazla bir fikrim yok Sercan Hocam, oldukça yazıyorum zaten

{{k,f(k)}:1kn} ler {1,2,,n} kümesinin bir parçalanması (ama her şey iki defa yazılmış) olacak. 

Böyle bir parçalanış kaç şekilde yapılabilir saymayı düşünebiliriz.

σ2=id olacak atomorfizmalari bulmamiz yeterli. 

Burada elbet de nokta sabitleyenler de var. Ornegin iki nokta sabitliyorsa bunu n2 hesabi ile cikarabiliriz.

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

n çift bir doğal sayı olsun.

{1,2,,n} kümesinden iki eleman seçelim. Bunu (n2) değişik şekilde yapabiliriz.

Kalan elemanlardan iki eleman daha (n22)  şekilde seçebiliriz.

Bu şekilde devam edersek n2 tane 2 elemanlı (ayrık) alt kümeyi (seçme sırası önemsiz oduğundan):

(n2)(n22)(22)(n2)!

değişik şekilde seçebiliriz. 

Yani {1,2,,n} yi bu kadar değişik şekilde iki elemanlı alt kümelere parçalayabiliriz.

Bu parçalanışların herbiri ({k,l} ikilisi bu parçalanışa ait ise f(k)=l, f(l)=k olacak şekilde) 

{1,2,,n} kümesinden kendine, tersi kendisine eşit olan, sabit noktası olmayan, 1-1 ve örten bir fonksiyon verir.

(6.3k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Daha kısa bir çözüm de varmış:

f:{1,2,,n} böyle bir fonksiyon olsun.

f(1) için n1 seçeneğimiz var.

k1=min({1,2,,n}{1,f(1)}) olsun. f(k1)  için n3 seçenek var 

(f(k1);1,f(1), ve k1 den farklı olmalı).

Bu şekilde devam edildiğinde, böyle fonksiyonların sayısı(n çift ise)

(n1)(n3)1 olmalıdır. (Bu sayı bazan (n1)!! şeklinde kısaltılır) (n tek ise boyle bir fonksiyon var olmadığı da görülüyor.)

Cagan Ozdemir e odev (n  çift ise):

(n2)(n22)(22)(n2)!=(n1)(n3)1

 olduğunu göster.


(6.3k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,333 soru
21,889 cevap
73,623 yorum
3,045,166 kullanıcı