Tam değer fonksiyonu ile ilgili bir özelliğin ispatı?

Question

$a\in \mathbb{Z}, a>1$  olmak üzere $[|a.x|]=[|x+\frac 1a|]+[|x+\frac 2a|]+[|x+\frac 3a|]+...+[|x+\frac {a-1}{a}|]$ eşitliğinin doğruluğunu nasıl gösterebiliriz?

($[|x|]:$   $x$ 'in tam değeri)

Answer 1

$x$ bir tam sayı ise eşitliğin doğru olacağı açıktır.

$x$ bir tam sayı değilse

$x = f(x) + g(x)$ olur. ($(f(x)$ = tam değer kısmı $g(x)$ = virgülden sonraki kısım olsun.

Ve ayrıca $0\leq g(x) < 1$ olacaktır. Bu durumda öyle bir $i = 1,2,3,,,,a-1$ sayısı vardır ki

$g(x) + \dfrac {i-1} {a} < 1$ ve $g(x) + \dfrac {i} {a} \geq 1$  $...(1)$  eşitsizliği sağlanır.

Buna göre $f(x) = f(x+1/a) = .......=f(x+i-1/a)$  ve

$f(x+i/a)=......=f(x+a-1/a)= f(x)+1$  olacaktır. Böylece

$f(x)+f(x+1/a)+......+f(x+a-1/a)=i.f(x)+(a-i)(f(x)+1)$

olacaktır. $(1)$  den faydalanarak

$a-i/a \leq g(x) < a-i+1/a$   olcağından

$a.f(x)+a-i \leq a.f(x)+a.g(x)=ax<a.f(x)+a-i+1$

olmalıdır. Buradan $f(ax)=a.f(x)+a-i$  elde edilir. Böylece ispat biter

Comments

$g(x)+\frac{i-1}{a}<1$ ve $g(x)+\frac{i}{a}\geq 1$ eşitsizliklerini nasıl yazdık?