$n!=p^mk$ ise $m$ en cok kac olabilir? (ikinci esitlik)

Question

$p$ asal bir sayi ve $a>0$ bir tam sayi olsun.Gosteriniz:

$$\nu_p(n!)=\frac{n-\sigma_p(n)}{p-1}.$$
Burada $\nu_p(.)$  icerideki pozitif tam sayiyi tam bolen $p$ asalinin en buyuk kuvveti ve $\sigma_p(.)$ de $p$ tabanindaki yazilisinin rakamlar toplami.

Bir onceki soruda bu sayinin $$\nu_p(n!)=\sum\limits_{k \geq 1} \bigg\lfloor \frac n{p^k} \bigg\rfloor$$ olmasi gerektigini gostermistik.

Sorunun linki: link

________________

Ornegin:
$n=48$ ve $p=5$ olsun. $$48=(143)_5$$ oldugundan $$\sigma_5(48)=1+4+3=8$$ olur  ve $$\nu_5(48)=\frac{48-8}{5-1}=10$$ olur. Ayrica $$\bigg\lfloor \frac {48}{5} \bigg\rfloor+ \bigg\lfloor \frac {48}{25} \bigg\rfloor=9+1=10$$ olur.

_______________

Sorunun guzel bir uygulamasi icin: link.

Answer 1

$a_i\in\{0,1,\cdots,p-1\}$ olmak uzere

$$n=a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots+a_kp^k$$ olarak yazalim. Bu durumda $$\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor=\frac{n-a_0}{p}=a_1+a_2p+\cdots+a_kp^{k-1}$$ olur. Ayni sekilde $2\le i \le k$ icin $$\left\lfloor\frac{n}{p^i}\right\rfloor=\frac{n-(a_0+\cdots+a_{i-1}p^{i-1})}{p^i}=a_i+a_{i+1}p+\cdots+a_kp^{k-i}$$ olur. 

Tum bunlari terim terim toplayalim: $$a_k(p^{k-1}+p^{k-2}+\cdots+p+1)$$ $$+a_{k-1}(p^{k-2}+\cdots+p+1)$$ $$+\cdots$$ $$+a_1$$ olur. $$1+p+\cdots+p^t=\frac{p^{t+1}-1}{p-1}$$ oldugundan toplamimizi bastan yazarsak toplamin $$a_k\frac{p^k-1}{p-1}+a_{k-1}\frac{p^{k-1}-1}{p-1}+\cdots+a_2\frac{p^2-1}{p-1}+a_1\frac{p-1}{p-1}+a_0\frac{1-1}{p-1}$$ oldugunu elde ederiz. Paydada $p-1$ var ve payi duzenlersek $$(a_kp_k+a_{k-1}p^{k-1}+\cdots+a_0)-(a_k+a_{k-1}+\cdots+a_0)=n-\sigma_p(k)$$ oldugunu elde ederiz. 

Bu da istedigimiz sonucu verir.