$x=\sqrt [3]{11+\sqrt {337}}+\sqrt [3]{11-\sqrt {337}}$ olduğuna göre $x^3+18x$ kaçtır?

Question

-UMO 2009

Comments

Önce her  iki tarafın küpünü almayı deneyiniz.

---

Öyle de yapılabiliyormuş hocam :) Güzel soru olduğu için paylaşmak istemiştim çözümler 2 oldu :)

---

Diğer çözüm nasıl?

---

$k$'yı küp köklü terimlerin toplamı olarak (buna $a-b$ diyelim) yazdığımızı düşünürsek $a^2+b^2$ ile çarpmak. Biraz daha bekleyelim, iki çözümü de atmaya çalışacağım.

---

Nedense bu tür sorularda hep küp almaya gidiyor akıl. En güzeli her iki ifadeye m ve n demek. Çünkü m^3+n^3 çok güzel bir şey oluyor :)

Answer 1

Önce Mehmet hocamın çözümüyle başlayalım...

$x=\sqrt[3]{\sqrt{337}+11}-\sqrt[3]{\sqrt{337}-11} \\ \Rightarrow x^3=\sqrt{337}+11-\sqrt{337}+11-3\sqrt[3]{\sqrt{337}+11}.\sqrt[3]{\sqrt{337}-11}(\underbrace{\sqrt[3]{\sqrt{337}+11}-\sqrt[3]{\sqrt{337}-11}}_x) \\ =22-3\sqrt[3]{337-121}.x=22-18x=x^3 \\ \Rightarrow x^3+18x=22$

Answer 2

Bu da benim çözüm...

$x=\sqrt[3]{\sqrt{337}+11}-\sqrt[3]{\sqrt{337}-11}\\ \Rightarrow x^2=\sqrt[3]{(\sqrt{337}+11)^2}-2\sqrt[3]{(\sqrt{337}+11).(\sqrt{337}-11)}+\sqrt[3]{(\sqrt{337}-11)^2} \\ x^2+12=\sqrt[3]{(\sqrt{337}+11)^2}+\sqrt[3]{(\sqrt{337}-11)^2} \\ x(x^2+12)=\sqrt{337}+11-\sqrt{337}+11+\sqrt[3]{(\sqrt{337}-11)^2(\sqrt{337}+11)}-\sqrt[3]{(\sqrt{337}+11)^2(\sqrt{337}-11)} \\ =22-\sqrt[3]{(\sqrt{337}+11)(\sqrt{337}-11)}(\underbrace{\sqrt[3]{\sqrt{337}+11}-\sqrt[3]{\sqrt{337}-11}}_x)=22-6x=x^3+12x \\ \Rightarrow x^3+18x=22$

Comments

Sayın@ Moriartied, çok yorulmuşsun. Çok teşekkürler. Bir küçük işaret hatası var sanki. Soruda iki küp kök arasında $+$ verilmiş ama sen $-$ almışsın. Belki böyle de soru kurulabilirdi ama orijinaline sadık kalmak adına söyledim. Birde kare alınca ikinci terimdeki en dıştaki küp kök fazla olmuş gibi.

---

Hocam içeriyi de eksiledim içerisi pozitif olsun diye... Başka yerde de ben mi göremedim?

Answer 3

Bu da benden

ifadelere sırasıyla m ve n denirse.

$m+n=x$

$m^3+n^3 = 22$

$mn = -6$

Buna göre

$m^3+n^3 = (m+n)^3-3mn(m+n)$

$22 = x^3+18x$

Comments

İlk çözüm ile aynı değil mi bu?

---

Hemen hemen hepsi birbiriyle aynı :)