Türev kullanmadan rasyonel fonksiyonların görüntü kümesini bulmak

Question

 Elimizde şöyle $f(x)= \frac{(x+5)}{(x-1)(x+2)}$ bir rasyonel fonksiyon varsa bu fonksiyonun görüntü kümesini türev kullanmadan nasıl buluruz? Aynı şekilde türev kullanmadan grafiğini nasıl çizeriz?

Comments

Bulunur mu emin değilim de, bulunsa bile bize sadece türevin ne kadar kullanışlı olduğunu anlatabilir diye düşünüyorum. Çok uğraştırır çünkü. Bir keresinde Ali Nesin benden türevin değerini anlamam için $y=x^2$ parabolünün $(3.3)$ noktasına en yakın noktasının koordinatlarını türev kullanmadan bulmamı istemişti. Birkaç sayfa uğraştıktan sonra buldum tabii de, bir daha yapar mıyım bilmiyorum.

---

Tanım kümesi belli değilse görüntü kümesi nasıl bulunur? Ayrıca siz türev kullanarak görüntü kümesini nasıl buluyorsunuz? Gösterebilir misiniz?

---

(tanım kümesinin $\mathbb{R}$ nin en geniş alt kümesi olduğunu varsayarsak)Türev kullanmadan (bu fonksiyonun) görüntü kümesi şöyle bulunur:

$\textrm{Gör}(f)=\{y:\ y=\frac{x+5}{x^2+x-2}\textrm{ olacak şekilde en az bir } x\neq1,-2\textrm{ vardır}\}$ 

$=\{y:\ yx^2+(y-1)x-(5+2y)=0\textrm{ olacak şekilde en az bir } x\in\mathbb{R}\textrm{ vardır}\}$

$y=0$ denklem 1. derecedir,  (kökünün var olup olmadığı kolayca belirlenir). 

$y\neq0$ ise denklem ikinci derecedir. Bu durumda ikinci derece denklemlerin gerçel köklerinin varlığı ile ilgili diskrimant  kriterini ($\Delta\geq0$) kullanabilirsin.

(Bu yöntemle, payının ve paydasının derecesi en çok 2 olan rasyonel fonksiyonların görüntü kümesi bulunabilir. Her rasyonel fonksiyon için bulunabilmesi için (derecesi çift olan) bir polinomun gerçel kökü olup olmadığının basit bir kriterine gereksinim var.)

---

Sayın Doğan hocam,

Sonuç itibariyle siz de görüntü kümesini bulmak için, $\mathbb{R}$ 'nin en geniş alt kümesini tanım kümesi olarak kabul etmişsiniz. Demek ki soru sahibi arkadaşın tanım kümesi hakkında bilgi vermesi gerekli idi. Elinize ve zihninize sağlık güzel bir anlatım olmuş. 

Sizin yaklaşımınızla, türev yardımıyla görüntü kümesinin bulunuşunu da bir zahmet görmemiz mümkün mü acaba hocam?

---

@Doğan hocam öncelikle elinize sağlık. Determinantı hesapladıktan sonra:
 $\triangle = (y-1)^2+4(y.(5+2y))= y^2-2y+1+4(5y+2y^2)=y^2-2y+1+20y+8y^2=9y^2+18y+1 \geq 0$
elde ettik. 
 Şimde mesela bu parabolu y-eksenine oturtacağız ve 2 tane asimptotu var. Nasıl ilerleyeceğiz son eşitsizlikten sonra?

---

$y=0$ için ($yx^2+(y-1)x-(5+2y)=0$ denkleminin) gerçel çözümün var olduğu apaçık.

$y\neq0$ iken $y\in \textrm{Gör}(f)\Leftrightarrow 9y^2+18y+1\geq0$ olduğuna göre:

$\textrm{Gör}(f)=\{0\}\cup\{y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}:\ 9y^2+18y+1\geq0\}$ olur

(0 sayısı için de $9y^2+18y+1>0$ olduğu için, hepsini birleştirirsek):

$\textrm{Gör}(f)$, $9y^2+18y+1\geq0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi olur.

Bu da (kareye tamamlayarak) türevsiz bulunabilir.

(Önceki yorumdaki $\Delta$ nın ifadesinde, $-18y$ terimini $+18y$ olarak düzelttim.)

---

Önceki yorumdaki diğer sorulara cevap:

 $f(x)=\dfrac{x+5}{(x-1)(x+2)}$ nin grafiği bir parabol değil ($yx^2+(y-1)x-(5+2y)=0$ ikinci derece bir denklem değil, grafik konik olamaz)

2 tane düşey asimptotu ve bir de yatay asimptotu var.

Görüntü kümesi iki aralığın birleşimi çıkıyor, bu da yerel maksimum ve minimumun var olduğunu gösteriyor. 

Bunları da diskriminanttan (diskriminantı 0 yapan değerleri sadece bir kez alıyor oluşundan) bulmak mümkün. Pozitifi negatif değerler aldığı aralıklar da hemen görülüyor. Bükeylik durumu buradan anlaşılmıyor. Sadec bunlara bakarak $f$ nin grafiğinin yaklaşık olarak aşağıdaki gibi çizebiliriz.(Sadece konkavlık/konvekslik(bükeylik) durumundan tam emin değiliz, Garfikteki ?? nerde bilemiyoruz) Grafiği https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+(x%2B5)%2F(x%5E2%2Bx-2)+x+from+-10+to+5 de de görebilirsiniz

---

Doğan hocam elinize sağlık öncelikle.
Gördüğüm bir metotta şöyle yapılıyor:
$\triangle =9y^2+18y+1 \geq 0$

Bu parabolün grafiği çiziliyor:

Başkatsayıya bakarak kollar aşağı mı yukarı mı belirliyoruz. Kökleri diskriminant ile bulup kesim noktalarını buluyoruz. Sonra elimizde $9y^2+18y+1 \geq 0$ olduğu için parabolün "negatif olmayan tarafta kalan kısımlarını" seçiyoruz, renklendirdiğim gibi.
Sonuçta görüntü kümesi $\mathbb{R} - (-1.943,-0.057)$ oluyor sizin bulduğunuz $-\frac{\sqrt(8)}{3}-1$ ve $\frac{\sqrt(8)}{3}-1$ bandı gibi.

Bu metodla görüntü kümesini bulabiliyoruz ama o kadar havada kalıyor ki, tam olarak anlayamıyorum.

---

Eğriyi çizmeye gerek yok.

$9y^2+18y+1=9(y+1)^2-8$ olduğu için

$9y^2+18y+1\geq0\Leftrightarrow (y+1)^2\geq\frac89\Leftrightarrow|y+1|\geq\frac{\sqrt8}3\Leftrightarrow y\geq-1+\frac{\sqrt8}3\textrm{ veya }y\leq-1-\frac{\sqrt8}3$

---

Çok teşekkürler hocam.