geometri

Question

Answer 1

Verilen paralelliklerden $|AD|=|BC| (=a\, \mbox{diyelim})$ olduğu görülür. Buradan, $|AB|=|CD|=3a$ olur. 

Şimdi, $x$ için, $[BC]$'yi sağa doğru yeterince uzatalım ve $D$ köşesinden $[BC]$'ye bir dikme indirelim ve $[BC]$ ile kesişen noktayı da $E$ ile işâretleyelim. $\widehat{CAD}=90^\circ$ olduğundan, $|AD|=|BC|=|CE|=a$ olur. Buradan hemen, $|DE|=a2\sqrt 2$ bulunur. $[AC]\bigcap[BD]=F$ dersek, $|BF|=|FD|=a\sqrt 2$ ve $|AF|=|FC|=a\sqrt 3$ alınır.

Gerisi için $ABF$ ve $AFD$ üçgenlerinin alanlarının eşitliği kullanılarak:

$$\frac{1}{2}3a\times a\sqrt 2\times \sin y=\frac{1}{2}a\times a\sqrt 3\times \sin x$$ elde edilir. Buradan ve şekilden: $$\sin x=\sqrt 6 \sin y=\sqrt{\frac{2}{3}}$$ ve sonra da $\cos x=\frac{1}{\sqrt 3}$, $\sin y=\frac{1}{3}$ elde edilir. 

Şimdi, $\cos 2x$'in açılımını hatırlarsak:

$$\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=-\frac{1}{3}$$  bulunur. Yukarıda, $\sin y=\frac{1}{3}$ bulmuştuk. Sinüs'ün tek foksiyon olmasından dolayı: $\sin(-y)=-\frac{1}{3}$ ve sonuç olarak da: $$\sin(-y)=\cos 2x$$ bulunur. Bildiğimiz gibi, birbirini $90^\circ$'ye tamamlayan açıların sinüsü kosinüsüne eşittir. Buradan ise, $$2x-y=90^\circ$$ elde edilir. Diğer bir deyişle, cevap A'dır.

Comments

Bence trigonometrik bir çözüm haricinde bir çözüm bulunsa iyi olur.

Sorunun sorulduğu konu geometri olarak verildiğinden dolayı böyle düşünüyorum.

---

Teşekkür ederim hocam bende sin cos değerlerini buldum sonrasını görememiştim

---

İlk bakışta bu geldi aklıma. Demek istediğiniz gibi, daha geometrik yollardan (daha çok "çizerek"; "yazarak" değil!) çözmeyi denemek denenebilir.

Meselâ, $[AB]$'yi çap kabul eden ve $C$ noktasından geçen çemberi kullanmak mümkün olabilir. Bakmak lâzım.

Ayrıca, ricâ ederim ali tas!

Answer 2

............