Question

$0\le x \le \dfrac\pi2$    için    $\left( 1-cos x\ge \dfrac{x^2}\pi \right)$    olduğunu ispat ediniz.

Answer 1

Öncelikle $x=0$ durumunu inceleyelim ve ardından $x\neq0$ durumunu inceleriz.

$i) x=0$ için eşitsizliğin sağlandığı aşikar.

$ii) x\neq0$ ise aşağıdaki düzenlemeleri yaparak devam edelim.

                                           $cosx=1-sin^2(\frac{x}{2})$ 

özdeşliğini denklemde yerine yazalım. Şimdi $sin^2(\frac{x}{2})\geq\frac{x^2}{\pi}$ eşitsizliğini düzenleyelim.

$x\neq0$ olduğu için her iki tarafı $x^2$ ile bölebiliriz.

                                                      $\frac{sin^2(\frac{x}{2})}{x^2}\geq\frac{1}{\pi}$

Bu eşitsizlikte düzenlenir ve $t=\frac{x}{2}$ dönüşümü yapılırsa $0\leq t\leq\frac{\pi}{4}$ için aşağıdaki eşitsizlik elde edilir.

                                                      $f(t)=(\frac{sint}{t})^2\geq\frac{2}{\pi}$

$\frac{df(t)}{dt}=\frac{tcost-sint}{t^2}\geq0$ olduğundan artandır ve en yüksek değerini $t=\frac{\pi}{4}$ için alır ki                                                                     $f(\frac{\pi}{4})=\frac{8}{\pi}\geq\frac{2}{\pi}$

                                                                                                                                             $\blacksquare$

                                              

Comments

Birkac sorum: 

En yuksek degerinin buyuk olmasi diger durumlarinda buyuk olacagini gostermez.

Turevinin $\ge0$ oldugunu nasil anladik?

Bide $0\le t$'ler $0<t$ olmali, cunku $t$ noktasinda tanimli degil, fakat limiti $1$. Zaten siz de basta bu durumu atmistiniz.

---

Haklısınız, ispatım yanlışmış. Büyük noktasına dikkat etmem lazımdı.