Fonksiyon sorusu

Question

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$,fonksiyonu ,$f(0)=1$  ve $f(xy+1)=f(x).f(y)-f(y)-x+2$ eşitliklerini sağladığına göre $f(2016)=?$ 

Answer 1

Eger boyle bir fonksiyon varsa 

$$f(1)=f(0\cdot0+1)=f(0)f(0)-f(0)-0+2=2$$ olur ve her $x \in \mathbb R$ icin $$f(x+1)=f(x\cdot 1+1)=f(x)f(1)-f(1)-x+2=2f(x)-x$$ ve $$f(x+1)=f(1\cdot x+1)=f(1)f(x)-f(x)-1+2=f(x)+1$$ olur ve dolayisi ile $$f(x)=x+1$$ olur.

Ayrica her $x,y\in \mathbb R$ icin  $$(xy+1)-[(x+1)(y+1)-(y+1)-x+2]=0$$ oldugundan biricik $f$ fonksiyonunun kurali $$f(x)=x+1$$ olmali.

Comments

Hocam zihninize ve emeğinize sağlık. Teşekkür ederim. 

Answer 2

$f(xy+1)=f(x).f(y)-f(y)-x+2...............(1)$ eşitliğinde $x$ yerine $y$, $y$ yerine $x$ yazalım.

$f(yx+1)=f(y).f(x)-f(x)-y+2...............(2)$ elde edilir. $(1)$ ve $(2)$' nin eşitliğinden:

$f(x)-x=f(y)-y$ elde edilir. $y=0$ için $f(x)-x=f(0)-0\Rightarrow f(x)=x+1\Rightarrow f(2016)=2017$ olur.