$3\times3$ Kare matrisin jordan normal formunu bulmayı açıklar mısınız?

Question

$T: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ bir lineer donusum olsun ve $$[T]=\left[\begin{matrix}3&0&0\\3&4&1\\0&2&5\end{matrix}\right].$$ $T$ donusumun minimal polinomunu bulun.

Comments

Selam Esra. Siteye hosgeldin. Ilk olarak sorularimizi Turkce olarak iyi bir sekilde sormaliyiz. Takildigimiz yerleri eklemeliyiz.

---

Selam,. sağolun. Ben %100 ingizce alıyorum derslerimi de sorular haliyle ingilizce oluyo, kusura bakmayın. 

---

Ben de Ingilizce aldim. Hatta su an ulkecek Ingilizce konusuyoruz. Klavyem de ingilizce vs. Fakat insan alisiyor belirli bir sureden sonra Turkcesine de. Takildiginiz yerlere TMD-sozluk'ten bakabilirsiniz. Kelime acik gelmiyorsa parantez icinde Turkcesini yazabilirsiniz ya da bulamadim diye sorunun sonunda oneri isteyebilirsiniz. Hosgorulu bir sitedeyiz. Sag olsunlar.

---

Soru hakkında bi cevap verecek miydiniz? 

---

Siz neler yaptiniz? Mesela Karakteristik polinomu buldunuz mu? Cunku karakteristik polinom minimal polinom ve Jordan form hakkinda bilgi verir.

---

Çözümü bu şekilde yaptık ama aşama aşama olarak anlayamadım daha sonra bakınca. 

---

Çözümü bu şekilde yaptık ama aşama aşama olarak anlayamadım daha sonra bakınca. 

PA(x)(x-3)(x-6)   

fA(x)=pA(x) yazdık sonra P(A)=0  deyip determinant aldık. 

---

Çözümü bu şekilde yaptık ama aşama aşama olarak anlayamadım daha sonra bakınca. 

Answer 1

Jordan Forma gelmeden once bir suru soru var.

Ilk soru matrisleri Kosegenlestirebilir miyiz? Her matrisi degil.
Fakat her matrisin Jordon Formu vardir. Kosegen degil fakat kosegene yakin.

Kosegenlestirmeyi bildigini varsayarak bu da benzer bir sekilde. Ogrenmek gerekir. 

Matris $3\times 3$ oldugundan Jordan form icin minimal polinomu bulmak yeterli.

1) $\det(Ix-T)$ bize karakteristik polinomu verir.
2) Bu polinomun $(x-3)^2(x-6)$ oldugunu bulmak lazim.
3) Minimal polinomda tum kokler gozukur. Bu nedenle ta $p_1(x)=(x-3)(x-6)$ ya da $p_2(x)=(x-3)^2(x-6)$ minimal polinom olmali.
4) Cayley-Hamilton geregi zaten $p_2(T)=0$.
5) Bu durumda $p_1(T)=0$ ise minimal polinom $p_1$ degil ise $p_2$ olur.
6) $p_1(T) \ne 0$ oldugunu gosterince bu bize minimal polinomun $p_2$ oldugunu verir.
7) $6$'lik blok zaten bir girdili blok.
8) $3$'luk blok $2\times2$ bir blok. Minimal polinomda $(x-3)^2$ olmasi, bu blogun $$\left(\begin{matrix}3&0\\1&3\end{matrix}\right)$$ olacagini soyler. Diger secenek $$\left(\begin{matrix}3&0\\0&3\end{matrix}\right)$$ olmasi idi fakat burada bu blogun minimal polinomu $(x-3)^2$ degil, $x-3$ olur: $$\left(\begin{matrix}3&0\\0&3\end{matrix}\right)-3\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}\right).$$
9) Demek ki Jordan Formu $$\left(\begin{matrix}3&0&0\\1&3&0\\0&0&6\end{matrix}\right)$$ olmaiymis.

Comments

Çok teşekkür ederim :)