Question

$\wp^{=2}(\mathbb{N})$, $\mathbb{N}$'nin 2 elemanlı altkümelerinden oluşan küme olsun. $\wp^{=2}(\mathbb{N})$'den $\mathbb{N}$'ye giden birebir bir fonksiyon bulun.

Answer 1

$f(\{a,b\})=2^a3^b,\quad(a\leq b)$

Comments

Açıklama yazabilir misiniz?

Neden bire-birdir?

---

Aciklamaya gerek yok bence. 
Birebirligin tanimindan (bunu bilmek lazim) sadece $2^a3^b=2^c3^d$ incelenmesiyle gosterilebilir.

---

Anladım, inceleyince.

---

$$A=\{x,y\}\longmapsto 2^{\min A}3^{\max A}$$ Sizin yaniti gormeden yazmisim. Silinmiyor da, o yuzden buraya yorum olarak yapistirayim dedim. Bosuna olmasin diye de sunu not edeyeim bari. Ayni ispatla $\mathbb{N}$'nin $n$'den az elemanli altkumelerinden $\mathbb{N}$'ye birebir bir fonksiyon vardir.

Answer 2

$\wp^{=2}(\mathbb{N})$, kümesini kendi içinde şöyle sıralayalım.

$$\begin{equation}     \wp^{=2}(\mathbb{N}) = \{ \{0, 1\}, \{0, 2\}, \{0, 3\}, \{0, 4\},  \ldots \} \end{equation}$$

$f : \wp^{=2}(\mathbb{N}) \to \mathbb{N}$,
$f(x, y) = y-1$ diye tanımlansa,

$f(0, 1) = 0$

$f(0, 2) = 1$

$f(0, 3) = 2$

$\ldots$

$f(0, n) = n-1$


Bu şekilde kullanılırsa, $f$ birebir olur mu?

Comments

$\{1,2\}$ elemanının görüntüsü $\{0,2\}$ elemanının görüntüsü ile aynı değil mi?

İpucu: $\mathbb{N}^2$'den $\mathbb{N}$'ye giden bir birebir fonksiyon bulmayı deneyin.

---

Evet görüntüsü aynı oluyor haklısınız, fakat $\{0, n\}$ ($n>0$) şeklindeki altkümeler her $a \in \mathbb{N}$ dokunmaz mı?

$\mathbb{N}^2$ ne demek? Yazımı anlayamadım.

Bulduğum yanıt şöyle.

$\ldots0000 \to \varnothing$

$\ldots0001 \to \{1\}$

$\ldots$

$\ldots0011 \to \{0, 1\}$

$\ldots$

$\ldots1100 \to \{2, 3\}$

şeklinde sıralasak, ikilik tabandaki sayıyı, onluk tabana çevirsek, bunu da $\mathbb{N}$'ye götürsek, bire-bir olur.