Question

$y= x^2 + 2x + 16$ fonksiyonunun orijinden geçen teğetlerinin eğimleri toplamı kaçtır?

Comments

Daha kolay bir (ama biraz dikkat gerektiriyor,eğri parabol olduğu için sorun çıkarmıyor) çözüm:

(0,0) dan geçen doğrulardan hangilerinin bu eğriye teğet olduğunu bulabilirsin.

Answer 1

$y(x)$ şeklinde gösterilen düzgün bir eğrinin $x$ apsisine karşılık gelen teğet denklemi:

$T(X)=y'(x)[X-x]+y(x)$

ile verilir. Bunun gösterilmesi ise ayrı bir soru olarak sorulabilir. Bu ifâdede $x$, "belli" bir noktayı, $X$ ise doğruyu oluşturan tüm noktaları belirleyen "değişkeni" temsîl etmektedir. İki sembolün karışmaması çok önemli! 

Bu ifâdede $X=x$ noktasında teğerin değerinin, beklendiği gibi $y$ fonksiyonunun değerine eşit olduğu görülür:

$T(x)=y(x)$.

Şimdi parabol denklemini alıp hesaplara girişelim. Bu eğri için teğet denklemi,

$T(X)=2(1+x)X-(x^2-2x-16)$

şeklinde bulunur. Buradan orijinden geçen teğetlerin apsislerini bulabiliriz. $X$'ten bağımsız olan terimi $0$ yapan değerlerin toplamı istenen şeyin ta kendisidir. Bu ise kavisli parantezler içindeki ikinci dereceden denklemin köklerini bulmak anlamına gelir. İkinci dereceden bir polinomun köklerinin toplamı ise $-b/a$ şeklinde verilir. Bu da ayrı bir sorunun konusunu oluşturabilir ve cevâbı oldukça kolaydır.

O hâlde orijinden geçen teğetlerin sayısı $2$'dir ve bunlar için istenen cevâb $2$'dir. 

Answer 2

Fonksiyonu çizdikten sonra orijinden geçen teğet çizelim. Bunlar $y=mx$ ve $y=-mx$ olur. Teğet noktaya $a$ diyelim. $(a,a^2+2a+16)$. Bu noktadaki türevler eşit olmalı yani $y'=2a+2=\dfrac{a^2+2a+16}{a} \to a=-4,4$. Doğrular $y=(+-)4x$'miş.

$f'(4)=10$ ve $f'(-4)=-6$ toplamları $4$ ediyor

Comments

İlk cümleyi açabilir misin? Doğruluğu konusunda.

---

türevin tanımı gereği diyebilirim.

 $x$ noktasındaki türev şuna denktir =  $x$ noktasından çizilen teğetin eğimi

---

"(0,0) noktasından çizilen teğetin eğimi ile fonksiyonun x=0 noktasındaki türevi aynı olmalı."

önermesi, eğr  (0,0) noktasından geçmiyorsa doğru değil. Bu sorudaki eğrinin (0,0) noktasından geçmediği aşikar.

---

Geometrik şekili nasıl çizip burada paylaşabilirim bilmiyorum. Ama kendim kağıtta fonksiyonun grafiğini çizdim daha sonra orijinden geçen teğeti çizdim ve bu teğet $y=-mx$ olduğuna inanıyorum