Question

$D_n$ Dihedral grubun merkezi nedir? $n$ tek ve çift alındığında.

Answer 1

$n=1$ ya da $n=2$ durumunda degismeli olacagindan kendisine esittir. O zaman $n \geq 3$ kabul edelim.

1) $b^2a=bab^{-1}=ab^{-2}$ yani tumevarimdan $b^ra=ab^{-r}$ oldugu gosterilebilir, $r \geq 0$ tamsayi.
2) Merkezdeki eleman hem $a$ ile hem $b$ ile degismeli olmali. $x=a^ib^j \in Z$ alalim. O zaman $xa=ax$ ve $xb=bx$ olmali.
3) 1-2 kullanildiginda $i=0$ ve $b^{2j}=1$ gelir.
4) $n$ cift iken $b^{n/2}$ merkezdedir.

Bunlari kullanaraktan: $n\geq3$ kosulu ile: $n$ tek ise: merkez $\{1\}$, eger cift ise merkez $\{1,b^{n/2}\}$ olur.


Not: $a,b,Z$ dedigim standart notasyonlar, cevabi uzatmak istemedim. ($|a|=2$, $|b|=n$ ve $Z$ merkez)