Sonlu cebirsel genislemeler basittir

Question

$K \subset \mathbb C$ bir cisim olsun. $a,b \in \mathbb C$ sayilari $K$ uzerinde cebirsel olsun. O halde (gosteriniz) $K$ uzerinde oyle bir  cebirsel $c \in \mathbb C$ vardir ki

$$K(a,b)=K(c)$$ olur. 

Comments

Sorunun adı yanlış olmuş. Her cebirsel genişleme basit değil.

---

onu cok dusundum de, basligi da uzatmasam mi dedim, baslik onerin var mi? 

---

Sonlu cebirsel genişlemeler basittir.

Bu en genel hali değil ama en azından doğru. Bir de zaten soru sonlu sorulmuş. O yüzden bence cuk oturur.

Answer 1

$a$'nın minimal polinomu $p$, $b$'nin minimal polinomu $q$ olsun. Öyle bir $\lambda$ elemanı bulacağız ki

$$K(a+\lambda b)=K(a,b)$$ sağlansın. Bu $\lambda$'yı nasıl seçeceğimiz birazdan belli olacak. $c=a+\lambda b$ olarak tanımlayalım. Her durumda $$K(c)\subset K(a,b)$$ olduğu belli.

Şimdi $r(x)=p(c-\lambda x)\in (K(c))[x]$ şeklinde tanımlanan polinom için,

$$r(b)=p(c-\lambda b)=p(a)=0$$ eşitliği sağlanır, bu da demek ki $b$ elemanı, $r$ polinomunun bir kökü. Diğer yandan $b$ elemanının $q$ polinomunun kökü olduğunu biliyoruz. O zaman $\lambda$ elemanını öyle bir seçelim ki $b$ elemanı, $r$ ve $q$ polinomlarının tek ortak kökü olsun (buna gerçekten hakkımız var mı?). Bu durumda $$\text{obeb}(r(x),q(x))=k(x-b)$$ olur, buradaki $k$ sayısı sıfırdan farklı bir katsayı. O halde $k(x-b)\in (K(c))[x]$  ifadesini elde ederiz ki bu da $k,kb\in K(c)$, yani $b\in K(c)$ demek. Son olarak $c=a+\lambda b\in K(c)$ ifadesini kullanarak $a\in K(c)$ olduğunu da söyleyebiliriz. Yani $$K(a,b)\subset K(c)$$ sağlanır.