Question

$\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x\cdot\sin x}{1+\cos^{2}x}dx$ integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir ?

a)$\pi ^{2} /9$

b)$\pi ^{2} /4$

c)$\pi ^{2} /2$

d)$\pi$

e)$1$

Comments

$u=\pi -x$ donusumunu uyguladin mi? 

---

u=x + pi bölü 2 denedim. Pi kare bölü 4 buldum ama cevap pi kare bölü 2 diyor.

---

Buradaki hesaplama da $\pi^2/4$ diyor.

Answer 1

Ilk olarak $f:[0,\pi] \to \mathbb R$  $$f(x) := \frac{x\cdot\sin x}{1+\cos^{2}x}$$ sarti ile bu kapali aralik uzerinde surekli oldugundan Riemann integrallenebilir.  $$\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x\cdot\sin x}{1+\cos^{2}x}dx$$ integrali icin $u=\pi -x$ donusumu uygularsak integralimiz $$\displaystyle \int_{\pi}^{0} \frac{(\pi-u) \cdot\sin u}{1+\cos^{2}}(-du)=-\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{u\cdot\sin u}{1+\cos^{2}u}du+\pi \displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sin u}{1+\cos^{2}u}du$$ olur. Bu da bize integralimizin $$\frac{\pi}2 \displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^{2}x}dx$$ integraline esit oldugunu verir. $t=-\cos x$ donusumunu uygularsak (bu donusum istenilen aralikta uygun) integralimiz $$\frac{\pi}2 \displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+x^2}dx=\pi\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2}dx$$ (cift fonksiyon olma bilgisi ile) integraline esit olur.  Bu da $$\pi\left(\arctan(1)-\arctan(0)\right)=\dfrac{\pi^2}{4}$$ olur.