$3^{n}$ basamaklı $111\cdots11$ sayısının $3^{n}$ ile bölündüğünü gösteriniz

Question

Sorum 3 üzeri n basamaklı 111...11 sayısının 3 üzeri n ile bölündüğünü gösteriniz.

Answer 1

Lisans kategorisi oldugundan tumevarim ile cozum yazayim.

$\mathrm i)$ $3$ sayisi $111$ sayisini tam boler. ($111=3\cdot37$).
 
$\mathrm{ii})$ $3^n$ sayisinin $3^n$ basamakli $11\cdots1$ sayisini tam boldugunu varsayalim. Bu durumda $3^{n+1}$ basamakli $11111\cdots1$ sayisi $3^n$ basamakli $11\cdots1$ sayisinin $1+10^{3^n}+100^{3^n}$ kati oldugundan $1+10^{3^n}+100^{3^n}$ sayisinin $3$ ile tam bolunup bolunmedigini incelememiz gerekir. 

Gosterme yontemi:
$\mathrm a)$ $n\ge1$ icin $10^n$ her zaman $3$ ile bolumunden $1$ kalanini verir, bunu tumevarim ile gosterme.
$\mathrm b)$ $1+10^{3^n}+100^{3^n}$ sayisinin $3$ ile bolunebildigini tumevarim ile gosterme.

Answer 2

                                     $111111...1 = \dfrac {1} {9}  .(10^{3^{n}} - 1)$

$LTE$ yardımıyla

                              $v_{3}(\dfrac {1} {9}  .(10^{3^{n}} -1 ))=v_{3}(10-1) + v_{3}(3^n) - 2 =n$ 

olur ki bu demektir $111111...1$ sayısı $3$ ün en fazla $n.$ kuvvetine bölünür

Comments

$111\cdots1$ yazarsan $111\cdots1$ olarak gozukur. Bir de uc tane nokta koyulur, genel olarak. 

---

LTE acilimi nedir?

---

Tamamdır teşekkürler. LTE : Lifting the exponent lemma . Buraya Türkçe ispat ve teoremleri ekleyebiliriz.

---

Tesekkur ettim. Epey faydali duruyor, ilk defa duydum. 

Answer 3

Bir onceki cevabimdan da aslinda Dogukan'in dedigini cikartabilirmisiz. Yine tumevarim kullanalim. 

(1) $a_1=111$ sayisi $3$ ile tam bolunur ama $9$ ile tam bolunmez. 

(2.0) $$(1+10^{3^n}+10^{3^{2n}})\equiv 3 \mod 9$$ oldugundan bu sayi $3$ ile tam bolunur ama $9$ ile tam bolunmez.

(2.1) $a_{n+1}=a_n(1+10^{3^n}+10^{3^{2n}})$  oldugundan tumevarim kabulu olan $$3^{n}\mid a_{n} \;\;\; \text{ ve } \;\;\;3^{n+1}\nmid a_{n}$$ ile  $$3^{n+1}\mid a_{n+1} \;\;\; \text{ ve } \;\;\;3^{n+2}\nmid a_{n+1}$$ oldugunu gosterebiliriz.