Question

cosx=u.v / llull.llvll bu formulun ispatı nedır acaba

Answer 1

$\vec{u}$ ve $\vec{v}$ ile $\vec{u-v}$ bir üçgen oluşturur. (neden?)

Bu üçgende $x$, $\vec{u}$ ile $\vec{v}$ arasındaki açı olmak üzere cosinüs teoremini yazarsak

$||\vec{u-v}||^2=||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-2||\vec{u}||.||\vec{v}||.\cos{x}$

olup eşitliğin sol tarafı

$||\vec{u-v}||^2=<\vec{u-v},\vec{u-v}>=||\vec{u}||^2-2<\vec{u},\vec{v}>+||\vec{v}||^2$

şeklinde olduğundan, yerine yazarsak sonuç olarak

$||\vec{u}||^2-2<\vec{u},\vec{v}>+||\vec{v}||^2=||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-2||\vec{u}||.||\vec{v}||.\cos{x}$

yani 

$\frac{<\vec{u},\vec{v}>}{||\vec{u}||.||\vec{v}||}=\cos{x}$

elde ederiz.

Comments

(Ozel durum)

$u,v \in \mathbb R^2$ olsun.

$u=(|u|\cos \theta_1,|u| \sin\theta_1)$ ve $v=(|v|\cos \theta_2,|v| \sin\theta_2)$ olsun. Bu durumda $$u\cdot v=|u| \; |v| \;\left( \cos\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_1\sin\theta_2\right)= |u| \; |v| \; cos(\theta_2-\theta_1)$$ olur.