$\mathbb Q(\sqrt a,\sqrt b)=\mathbb Q(\sqrt a+\sqrt b)$ ne zaman saglanir?

Question

Soru: $a,b$ tam kare icermeyen farkli pozitif tam sayilar olsun. Hangi sartlar altinda $$\mathbb Q(\sqrt a,\sqrt b)=\mathbb Q(\sqrt a+\sqrt b)$$ olur.

Ornekler: 
1) $\mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3)=\mathbb Q(\sqrt 2+\sqrt 3)$,
2) $\mathbb Q(\sqrt 5,\sqrt 7)=\mathbb Q(\sqrt 5+\sqrt 7)$.

Comments

başındaki Q ların anlamı nedir, soru tam ne istiyor.

---

Rasyonal sayilar cismi.

Anahtar kelimeler: Cisimler, Cisim genislemeleri
Istenen: yukaridaki sartlardaki iki farkli cisim genislemesi ne zaman ayni olur.

---

$a$ ve $b$ tamsayıları için şartlar arıyoruz değil mi? Örneğin, her ikiside asal ise sağlanır gibi.

---

Evet.

Galiba her zaman dogru.  $$(\sqrt a +\sqrt b)^3=(a+3b)\sqrt{a}+(b+3a)\sqrt{b}$$ olur. $$\left|\begin{matrix} 1&1 \\ a+3b & b+3a \end{matrix}\right|=2(a-b) \ne 0$$ oldugundan $$\sqrt{a},\sqrt{b} \in \mathbb Q(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$ olur.  Kare kok yerine kup kok vs alsak bu saglanmayabilir herhalde. 

Answer 1

Kolay kismini yine de yazarsak: $$\sqrt a+\sqrt b \in \mathbb Q(\sqrt a,\sqrt b)$$ oldugundan $$\mathbb Q(\sqrt a+\sqrt b ) \subseteq \mathbb Q(\sqrt a,\sqrt b)$$ saglanir.


Koklerden kurtulmamak icin $$(\sqrt a +\sqrt b)^3=(a+3b)\sqrt{a}+(b+3a)\sqrt{b}$$ ile ilgilenelim. Dolayisiyla $$\frac{1}{2(a-b)}\left[(\sqrt a +\sqrt b)^3-(a+3b)(\sqrt a +\sqrt b)\right]=\sqrt a$$ ve $$\frac{1}{2(b-a)}\left[(\sqrt a +\sqrt b)^3-(b+3a)(\sqrt a +\sqrt b)\right]=\sqrt b$$ esitlikleri saglanir. Bu da bize $$\sqrt{a},\sqrt{b} \in \mathbb Q(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$ oldugunu verir. Dolayisiyla $$\mathbb Q(\sqrt a,\sqrt b ) \subseteq \mathbb Q(\sqrt a+\sqrt b)$$ de saglanir.

Comments

tam sinav kagidina yazmalik cevap

---

Sinav kagidina bir cumle daha yazardim. 

---

@Sercan $a \neq b$?

---

Evet, soruda onu belirtmistim. 

---

Hatta soruda kare icermeyen dedim ama farkli herhangi iki pozitif rasyonel sayi icin de gecerli oluyor. Zaten o kisim cikarima giriyor.

---

Genel hali icin dereceden yaklasmak daha mantikli geliyor. Biri digerini iceriyor zaten. Genisleme dereceleri ayni ise esit olurlar. Geneline de bir el atacam. 

---

Sınav kağıdına yazacağın cümle için acaba o mu demiştim. Ne yazardın merak ettim :)