Question

$(1+\sqrt2)^{3000}$ sayisinin virgulden sonraki $1000.$ basamagi nedir?


Not: virgulden sonraki $1000.$ basamak dedigim, $10$'luk tabana gore acinca $10^{-1000}$'in katsayisi.

Comments

$(1+x)^{2n}+(1-x)^{2n}$ açılımı toplandığı zaman sanki çıkıyordu çift kuvvetler toplamı kalıyor yaklaşmla ama uzun 

---

cok da uzun degildir.   

---

En azından buraya yazamayacak kadar benim için:)

---

cevabini biliyormusunuz aceba 

---

tam hesaplamadim ama 9dur. :)

---

$(1+\sqrt2)^{3000}=1061759163678306059250183606879433882707098709234153990238988246633169\ 1513290017437746136330574116484848919347085619331415661686116469841586\ 4631488135967956514484343108927085847239875475003569299351023937464468\ 5030244129708644023632227792364752977421862041294026279869819468062828\ 7232972629444281733612556234748063390244907639790755119164247353651057\ 9311634489583354448685858144406664287062948001052761171265632250333833\ 0052965024028206007037427616848305616351546608606599952128047931079456\ 0818976155201355257716411535797151434421398225236850837035985282400238\ 0016738719530060411028200928421332421749132378866098468289690103209360\ 4760034328062811052061039140657258081826479491172012686683811601912543\ 7746060141287740370227891000352756055132257842106303226315077501675185\ 5163121790343101171844645192806429006604146239524446162121445718963468\ 1897898858306356098385321980603699016546152514906778442424535662355680\ 1192705050685329012155768136932396987406167434241567862213706822918945\ 4178627979245962990178294371938248889609818203936642972601008179653649\ 4927064507522449876403715910932492452899120286745703003705754035634462\ 77170919122791757766225000001 +  750777104623887660583291506460413590136511200204877872378762799933180\ 1797298973494417121300654783331810883925831714472398496487455176659312\ 5985576168346249342037463285683528763596437939172596644233434733480681\ 6006215796366095385601791773886446551960401953491746535483335468900639\ 3062590947622080515235136814409392119522912491019062064117366797072921\ 2049637382292308322956111057785195636857092382569720611180826032379961\ 4577662893585859362214482887758842344102871594995728379728613666529108\ 1460405767067762103227954731244515945821461926482170313935712051344756\ 2849651075558371801230546539366312374384661137228535365525981415369901\ 4794026549804007190855508822324352764907517671076264548817066865629211\ 9507666890986700751270572270136414483101843453466040755997119861405548\ 0150005408143885334933960781508706486191470560931118693521056458811010\ 2062113005057701895000027222702501650131496781153753068733638830756125\ 8288578427254633617911396902790653167824193220220267061305091611101902\ 3795939231535654913955859775726012382514964729937515450210904945578356\ 2407955820852643518411061772973512561502928023438597726245115610920179\ 83035976379087762006285465000 \sqrt{2}$

---

Aşağıdaki cevap ile bu pek tutmuyor, sebebi nedir sence? 

---

$a+b\sqrt2$ olarak yazmışsın ama gözükmüyor. 

---

Alttan saga kaydirabilirsin. Acilimin tam degeri o. Numerik degere bakinca  1000. basamak 5 gibi geldi ama tam da emin degilim..

---

Teyit edilmistir. Virgulden sonraki 1000. basamak 9'dur. Mavi kisimda 1148 basamak var, 10^1148 ile carpilinca, mavi kisim virgulun soluna kayar. ve virgulden sonra 1148 tane arka arkaya 9 var. 

---

Bu resim daha aciklayici...

---

Telefondan zor sayabilirim ama üstüste olan yerde  son 9 kaçıncısı gibi bir soru zor olur herlade. 

---

Son sorun surdaki $f(n)$ fonksiyonuyla bulunabilir.

Answer 1

Aranan rakam $\boxed{9}$ dur. 

Çözüm:

$a,b$ birer pozitif tam sayı olmak üzere $(\sqrt{2} + 1)^{3000}=a + \sqrt{2}b$ biçimindedir. Benzer fikirle $(\sqrt{2} - 1)^{3000}=a - \sqrt{2}b$ dir! Sadece $\sqrt{2}$ irrasyonel kısmının katsayısının işaret değiştirdiğini gözlemlemek yeterlidir. Dolayısıyla $$(\sqrt{2} + 1)^{3000} + (\sqrt{2} - 1)^{3000} =2a$$ biçiminde bir çift tam sayı olur. Öte taraftan $(\sqrt{2} - 1)^{3000}$ pozitif sayısı $0$ a çok yakındır. Bakalım işimize yarayacak kadar yakın mıymış?

Öncelikle $\sqrt{2} < 1,45$ olduğunu her iki tarafın karesini alarak görebiliriz. Buna göre $\sqrt{2}-1 < 0,45$ tir. Şimdi $(\sqrt{2}-1)^3 < \dfrac{45^3}{10^6} = \dfrac{91125}{10^6} < \dfrac{10^5}{10^6}$ olup $$(\sqrt{2}-1)^3 < \dfrac{1}{10}$$ buluruz. İşte bu çok iyi oldu! Soruya abanmaya devam edelim:

$(\sqrt{2}-1)^{3000} < 10^{-1000}$ ve $(\sqrt{2} + 1)^{3000} + (\sqrt{2} - 1)^{3000} =2a$ olduğundan  $$2a-10^{-1000} < (\sqrt{2} + 1)^{3000} <2a$$ olup $(\sqrt{2} + 1)^{3000}$ sayısının virgülden sonraki en az $1000$ basamağının $9$ ile bittiğini anlarız.

Comments

 surdaki $f(n)$ fonksiyonu kullanilarak  virgulden sonra $f(3000)=1148$ tane $9$ oldugugu gosterilebilir.

Answer 2

Bu tip soruları çözmenin bir yolunu (ve başka ilginç bilgileri) görmek için, MATEMATİK DÜNYASI dergisinin 2014-III sayısının 52-55 sayfalarında basılmış "Kesirli (Rasyonel) sayıları anlamak: kolay mı, zor mu?" yazısına bakabilirsiniz.

Comments

Nasil bakabiliriz hocam?