Question

$\displaystyle\int_{0}^{x}f(t).dt=x.sin(\pi.x)$ ise f(6)=?

Comments

başına ve sonuna $ işareti koyarsanız aşşagıda yazdıklarıma tamam olur.


\displaystyle\int_{altına yazmak istedigini buraya yaz}^{üstüne yazmak istediğini buraya yaz}


Yani

\displaystyle\int_{0}^{x}f(t).dt=x.sin(\pi.x)   

Answer 1

$\displaystyle\int_{0}^{x}f(t).dt=x.sin(\pi.x)$ olduğuna göre her iki tarafın da türevini alırsak $f(x)=sin(\pi.x)+x.\pi.cos(\pi.x)$ olur. O halde $f(6)=sin6\pi+6\pi.cos6\pi=6\pi$ cevabını buluruz. Soruya bir parantez açmak gerekirse $\displaystyle F(x)=\int^{h(x)}_{g(x)} f(x)dx$ olmak üzere $F'(x)=f(h(x)).h'(x)-f(g(x))g'(x)$ denklemini her iki tarafın türevini alırken kullandık. Bu açıklamayla potansiyel bir sorunun sorulmasını önlemiş oldum sanırım.

Comments

Genelestirmesini kullandik olarak yazmissin ama burada kullanilan aslinda direkt Kalkulusun Temel Teoremi.

---

Müfredatta var ama hocam kitaptan defalarca bakmışlığım var formüle.

---

Formulde sorun yok. Demek istedigin formul daha yuksek seviyede. Fakat bu soru daha dusuk seviyede olan Kalkulusun Temel Teoremi'nden geliyor. 

Sadece bilgilendirme...

---

Bilgilendirme için teşekkürler hocam. Kalkülüsün Temel Teoreminden nasıl geliyor?

---

Temel'den :) 


ilk olarak bu $\int_0^x$ olarak ispatlaniyor. (ya da sabit bir $a$ icin $\int_a^x$)

sonra zincir kurali ile. $\int_0^{f(x)}a(x)dx$'i  $(\int_0^xa(x)dx)\circ(f(x))$ bileske olarak yazinca zincir kuralindan geliyor.


$\int_g^f$ de $\int_0^f-\int_0^g$ olarak yazilinca genellesmis oluyor.