Young Eşitsizliği. $p,q\in (1,\infty)$ ve her $x,y\in(0,\infty)$ için $\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}\geq xy$ oldugunu ispatlayınız.

Question

$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$ eşitliğini sağlayan her  $p,q\in (1,\infty)$ ve her $x,y\in(0,\infty)$  için

$\dfrac{x^p}{p}+\dfrac{y^q}{q}\geq x.y$   oldugunu ispatlayınız.

dipçe; 20-30 görüntülenme oluyor, lütfen tam cevap yazmanıza gerek yok en azından bir yol gösterici ipucu veya fikir verebilirsiniz , saygılar...

Comments

p=m+n/n q=m+n/m dönüşümü yazarak başlayabilirsin sonra ortalama kullanabilirsin

---

Teşekkür ederim.

Answer 1

$$\frac1p+\frac1q=1$$ demek $$(p-1)(q-1)=1$$ demek. Bu da $$u=t^{p-1} \iff t=u^{q-1}$$ oldugunu verir. Kisacasi $t^{p-1}$ ve $u^{q-1}$ ters fonksiyonlar olurlar. Bu integraller toplaminin dikdortgenden fazla alan vercegini gozlemleyerek $$xy \le \int_0^x t^{p-1}dt+\int_0^y u^{q-1} du= \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}$$ olur.

Esitlik dikdortgen olustugunda saglanir. Bunun icin de $$x^{p-1}=y$$ olmali olur. 

Comments

Teşekkür ederim.

Answer 2

$$p=\frac{m+n}{m}, q=\frac{m+n}{n}, x=a^(1/p), y=b^(1/q)$$  olsun $$\frac{a}{(m+n)/m}+\frac{b}{(m+n)/n}=\frac{am+bn}{(m+n)}\geq(a^m.b^n)^{1/(m+n)}=x.y \ A.O\geq G.O$$    not: soru aslında doğrudan ağırlıklı aritmetik ortalamanın ağırlıklı geometrik ortalamadan büyük olduğunun da kanıtıdır. Sorunun daha yaygın kanıtı ise Jensen ile

Comments

Teşekkür ederim.

Answer 3

Young Eşitsizliği'nin 3. İspatı (Konvekslik Kavramı İle): Logaritma fonksiyonunun pozitif gerçel sayılar kümesinde konkav fonksiyon olduğunu biliyoruz. Yani grafik üzerinden iki farklı nokta alıp bir doğru parçasıyla birleştirdiğimizde, bu doğru parçası fonksiyon grafiğinin altında kalacaktır. $x,y>0$ ve $0\leq t \leq 1$ için

$$t\log x + (1-t)\log y \leq \log (tx + (1-t)y)$$ veya $$\log  \left( x^t y^{1-t}\right) \leq \log (tx + (1-t)y)$$  olur. $t=\dfrac{1}{p}$ denirse $1-t=\dfrac{1}{q}$ olur. $x=a^p$ ve $y=b^q$ değişken değiştirmesi yapılırsa son eşitsizlikten $$ab \leq \dfrac{a^p}{p} + \dfrac{b^q}{q}$$ bulunur $\blacksquare$