En geniş binomal teoremin notasyonik çözümü,Ve bu genel gösterimden her binomal teoremciğin gösterilmesi

Question

Hocamızın yaptığı güzel notasyonik ve anlamsal genel çözümü tebrik ediyoruz ,

Ek olarak orada bulunan $m=m_1+m_2+m_3+......+m_n$ ifadesindeki    $m_i$ lerin düzenini belirtiniz.


Ve diyelimki $(a+b+c)^n$'in genel gösterimini yukardaki notasyonık çözümden çıkarınız.

Comments

genel terımde m lerin  aralarındakı bagıntıyı vermek oldukça zormuş.

Answer 1

$b_n=a_1+a_2+a_3+.......+a_{n-1}+a_n$ olsun


$m_i$ ve  $k_i$ dizi olsunlar;

$m_i=m_1,m_2,m_3,m_4,.........m_{n-1},m_n$

$k_i=k_1,k_2,k_3,k_4,.........k_{n-1},k_n$


Amacım genel gösterimi vermek , birazda olsa $k_i$  ve  $m_i$ ler hakkında fıkır zemini oluşturmak.

Tek tek bazı açılımlar yapalımki genel gösterime tam uysunlar....

ana kural

$(x+y)^n=\large\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}.x^k.y^{n-k}$

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$b_{n}^{m_{n}}=[b_{n-1}+a_{n}]^{m_{n}}=\large\displaystyle\sum\limits_{k_{n}=0}^{m_{n}}\dbinom{m_{n}}{k_{n}}b_{(n-1)}^{k_{n}}a_{n}^{(m_{n}-k_{n})}$


$b_{(n-1)}^{k_{n}}=[b_{n-2}+a_{(n-1)}]^{k_{n}}=\large\displaystyle\sum\limits_{m_{n-1}=0}^{k_{n}}\dbinom{k_{n}}{m_{n-1}}b_{(n-2)}^{m_{(n-1)}}a_{(n-1)}^{(k_{n}-m_{(n-1)})}$



$b_{n-2}^{m_{n-1}}=[b_{n-3}+a_{n-2}]^{m_{n-1}}=\large\displaystyle\sum\limits_{k_{n-1}=0}^{m_{n-1}}\dbinom{m_{n-1}}{k_{n-1}}b_{(n-3)}^{k_{n-1}}a_{n-2}^{(m_{n-1}-k_{n-1})}$



$b_{(n-3)}^{k_{n-1}}=[b_{n-4}+a_{(n-3)}]^{k_{n-1}}=\large\displaystyle\sum\limits_{m_{n-2}=0}^{k_{n-1}}\dbinom{k_{n-1}}{m_{n-2}}b_{(n-4)}^{m_{(n-2)}}a_{(n-3)}^{(k_{n-1}-m_{(n-2)})}$


  

$b_{n-4}^{m_{n-2}}=[b_{n-5}+a_{n-4}]^{m_{n-2}}=\large\displaystyle\sum\limits_{k_{n-2}=0}^{m_{n-2}}\dbinom{m_{n-2}}{k_{n-2}}b_{(n-5)}^{k_{n-2}}a_{n-4}^{(m_{n-2}-k_{n-2})}$


$b_{(n-5)}^{k_{n-2}}=[b_{n-6}+a_{(n-5)}]^{k_{n-2}}=\large\displaystyle\sum\limits_{m_{n-3}=0}^{k_{n-2}}\dbinom{k_{n-2}}{m_{n-3}}b_{(n-6)}^{m_{(n-3)}}a_{(n-5)}^{(k_{n-2}-m_{(n-3)})}$

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

yani

Her birini bir öncekinde yerine koyarsak.....


$b_{n}^{m_{n}}=[b_{n-1}+a_{n}]^{m_{n}}=\large\displaystyle\sum\limits_{k_{n}=0}^{m_{n}}\dbinom{m_{n}}{k_{n}}\left[\large\displaystyle\sum\limits_{m_{n-1}=0}^{k_{n}}\dbinom{k_{n}}{m_{n-1}}\left[ \large\displaystyle\sum\limits_{k_{n-1}=0}^{m_{n-1}}\dbinom{m_{n-1}}{k_{n-1}}\left[\large\displaystyle\sum\limits_{m_{n-2}=0}^{k_{n-1}}\dbinom{k_{n-1}}{m_{n-2}}\left[\ddots_{\ddots_{\ddots_{\ddots}}}\right]a_{(n-3)}^{(k_{n-1}-m_{(n-2)})}\right]a_{n-2}^{(m_{n-1}-k_{n-1})} \right]a_{(n-1)}^{(k_{n}-m_{(n-1)})}\right]a_{n}^{(m_{n}-k_{n})}$

Comments

biraz ileri yontemler kullanmadan bu form işe yaramaz.