Belirsiz İntegral

Question

$\displaystyle\int\frac{x^2dx}{(xsinx+cosx)^2}$

Comments

http://matkafasi.com/71773/%24-int-frac-x-2-20-x-sin-x-5-cos-x-2-dx%24-integrali-icin-yontemler

burada benzeri var ama bunu da çözen olmamış.

sizin soruya bakış açınız nasıl?

---

Biraz zor oldugundan cozdum bu soruyu. Benim sorumu da biri cozer artik, oyle umit ediyorum :)

Answer 1

Genel cozumunu de yapabilecegimiz sekilde anlatiyorum: (Bazi kolaylastirlmalar yapilabilir). Ilk olarak

$$(x\cdot \sin x+\cos x) = \sqrt{x^2+1^2}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1^2}}\cdot \sin x+\frac{1}{\sqrt{x^2+1^2}}\cdot \cos x\right)$$ $$= \sqrt{x^2+1}\cdot \cos\left(x-\theta\right)\;,$$ oyle ki  $\displaystyle \sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ ve $\displaystyle \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ ve $\tan \theta =x\Rightarrow \theta = \tan^{-1}\left(x\right)$ olur.

Bu durumda integral 

$$= \int \sec^2(x-\theta)\cdot \left(\frac{x^2}{x^2+1}\right)dx$$ olur. $(x-\theta) = u$ olsun, bu da bize $$\left(x-\tan^{-1}\left(x\right)\right)=u\;,$$ ve $$\left(\frac{x^2}{x^2+1}\right)dx = du$$ olur. Bu durumda integralimiz $$\displaystyle \int \sec^2(u)du = \tan u +c= \tan\left(x-\tan^{-1}\left(x\right)\right)+c$$ olur ve bu da bize  $$\int \frac{x^2}{(x\cdot \sin x+\cos x)^2}dx = \frac{ \tan x-x}{1+x\cdot \tan x}+c = \frac{\sin x-x\cos x}{\cos x+x\sin x}+c$$ esitligini verir. ($c$ sabit).

Comments

2 dik kenarı x ve 1 olan üçgenden mi çıkıyor herşey:)

---

insanin zoruna gidiyor diyorsun sanki:)

---

Fakat bu yontem icin en onemli kisim ilk esitlik. 

---

hocam bilmiyorum, ama beni çok rahatsız ediyor, bikere x'in üçgen içindeki değeri tehlikeli

alabileceği açı neden dar açı? daha kesin çözüm olabilirmi acaba:)

---

aynen hocam ilk eşitlik, bu arada elinize saglık

---

Çözüm için teşekkürler. Elinize sağlık. 

---

Foton, bir yorumunu gormemisin. Dar aci vs kullanilmadi cevapta. Ornegin $x$ negatif olsa alt kisima duseriz. Bu 1. ve 4. bolge olarak adlandirilan aralikta. Ilk denklem'de + yerine - koyarsak da diger bolgelere de gecebiliriz. 

Kisacasi +/- secimimiz bizi buraya surukledi. $x$'in negatifligini katmasak bile $2^2$ secenekten 4 bolgeye gecebiliriz.

Cok acik yazmadim ama bakinca anlasilir.