$\int \frac{x^2+20}{(x \sin x+5 \cos x)^2}dx$ integrali icin yontemler

Question

$$\int \frac{x^2+20}{(x \sin x+5 \cos x)^2}dx$$ integralini bulunuz.

Comments

biraz ipucu veriniz:)

---

$\tan(\theta/5)$ olur mu? 

---

tanx/2 deki ispat gibi sanirim

---

Tabi neden bu donusumu yapmak gerekir, nasil bu donusumu secmemiz gerekir, bu da onemli. Aslinda bu donusum sonradan geliyor. Yani arada yapilan bir donusum.

Belki daha kolay bir yolu vardir.

---

hocam bu soruyu çözermisiniz hâla daha güzel bir çözüm üretemedim.

---

Bunun videosunu yapmayi planliyorum. O zaman cevabi da atarim buraya..

---

vidyoyu yapın çeviriym hocam:) 

---

tamamdir :)            

---

Anil burada bir soz vermissin. Bence sozunu tutmalisin.

---

cevirdim ben  yani izlerken cevirdim izledim ama atcam demedim zaten

Answer 1

Bu soruda benzerini cozmustuk:

Ilk olarak $$(x\cdot \sin x+5\cos x) = \sqrt{x^2+5^2}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+5^2}}\cdot \sin x+\frac{5}{\sqrt{x^2+5^2}}\cdot \cos x\right)$$ $$= \sqrt{x^2+5^2}\cdot \cos\left(x-\theta\right)\;,$$ oyle ki  $\displaystyle \sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+5^2}}$ ve $\displaystyle \cos \theta = \frac{5}{\sqrt{x^2+5^2}}$ ve $\tan \theta =\frac x5\Rightarrow \theta = \tan^{-1}\left(\frac x5\right)$ olur.

Bu durumda integral  $$= \int \sec^2(x-\theta)\cdot \left(\frac{x^2+20}{x^2+5^2}\right)dx$$ olur. $(x-\theta) = u$ olsun, bu da bize $$\left(x-\tan^{-1}\left(\frac x5\right)\right)=u\;,$$ ve $$\left(\frac{x^2+20}{x^2+5^2}\right)dx = du$$ olur. Bu durumda integralimiz $$\displaystyle \int \sec^2(u)du = \tan u +c= \tan\left(x-\tan^{-1}\left(\frac x5\right)\right)+c$$ olur ve bu da bize  $$\int \frac{x^2+20}{(x\cdot \sin x+5\cos x)^2}dx = \frac{ \tan x-(x/5)}{1+(x/5)\cdot \tan x}+c = \frac{5\sin x-x\cos x}{5\cos x+x\sin x}+c$$ esitligini verir. ($c$ sabit).

Bu soru genellestirilebilir ve iki soru "bence" genellestirebilecegimiz cevaplari iceriyor.

Comments

genel çözümlerden birini öğrenmiş oldum teşekkürler hocam:)

---

Genellesmesini yapip soru olarak acabilirsin bence. 

Answer 2

Paydadaki ifadeyi

 $\sqrt{x^2+25}$ ($\frac{x}{\sqrt{x^2+25}}$sinx+$\frac{5}{\sqrt{x^2+25}}$cosx)

 şeklinde yazalım. u açısının karşısı x komşusu 5 birim olan bir dik üçgen düşünürsek ifade;

$\sqrt{x^2+25}$cos(x-u) ifadesine eşit olur. 

x-u=t diyelim. u=arctan(x/5) olduğundan; $\frac{x^2+20}{x^2+25}$dx=dt olur. 

İntegral;

$\int{sec^2(t) dt}$= tant+c= tan(x-arctan(x/5))+c=$\frac{tanx-x/5}{1+tanx.(x/5)}$=$\frac{5sinx-xcosx}{5cosx+xsinx}$ olur. 

Comments

Cozumun icin tesekkurler.

Ben de ara adimlari ekledim, cunku $\arctan$ isin icine girince kafalar biraz karisiyor.