Enerjinin genel tanımı ve 3 boyutla alakası ve $E=m.c^2$

Question

$\underline{Soru}$ 1;"Einstein'ın madde-enerji dönüşümü olan ünlü $E=m.c^2$ formülünü matematiksel olarak nereden geldiğini gösteriniz.

Bu formül ile alakalı veya alakasız olarak .

"Enerji" tanımını basitçe yapınız ,sizin yaptığınız tanıma bağlı kalarak ;

$\underline{Soru}$ 2;Enerji için belirli hacim düşünülebilinir mi? Enerjinin bir hacmi var mıdır? veya olmalı mıdır?

$\underline{Soru}$ 3;Çok yaygın bir teori olan "Big Bang"(büyük patlama)ya göre evrenin başlangıcında çok küçük bir hacimde sıkışmış olan hacmi nasıl düşünmeliyiz?

Answer 1

Soru 1'e yanıt: Albert Einstein "Bir cismin eylemsizliği onun sahip olduğu enerjiye bağlı mıdır?" Annalen der Physik 323 13,639–643 (1905) adlı makalesinde enerji madde denkliğini kendi özel görecelilik kuramından -neredeyse kelimesi kelimesine- şöyle türetmiştir:

"Düzlem dalgalarından oluşan bir sistemin, $(x,y,z)$ koordinat sistemindeki enerjisi $\tilde{E}$ ve dalgaların ilerleme yönüyle sistemin x ekseni arasında $\phi$ açısı olsun. $(x,y,z)$ sistemine göre düzgün paralel ötelemeyle yeni bir $(\xi,\eta,\zeta)$  koordinat sistemi tanımlayalım ve onun başlangıç noktası $x$ ekseni boyunca $v$ hızıyla hareket etsin, o zaman sözü edilen ışık miktarının $(\xi,\eta,\zeta)$ sisteminde ölçülen enerjisi şöyledir:

$\tilde{E}^*=E\frac{1-\frac{v}{c}cos\phi}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

ki $c$ burada ışık hızını göstermektedir. Bu sonuçtan aşağıda yararlanacağız.

Şimdi de $(x,y,z)$ sisteminde durağan bir cisim var olsun ve $(x,y,z)$ sistemine göre enerjisi $E_0$ olsun. Cismin enerjisi yukarıdaki gibi $v$ hızında ilerleyen $(\xi,\eta,\zeta)$ sistemine göre de $H_0$ olsun.

Bu cisim, $x$ ekseniyle $\phi$ açısını oluşturan yöne $E/2$ enerjisine sahip düzlem ışık dalgaları yayarken, aynı zamanda da eşit büyüklükte bir ışık süzmesini bunun tam zıt yönüne ışısın. Ama bu arada cisim $(x,y,z)$ sistemine göre hareketsiz kalır. Bu olay için enerji prensibi geçerli olmak zorundadır hem de (görecelilik prensibine göre) her iki koordinat sistemi göre. Sırasıyla $E_1$ ve $H_1$'i; cismin -ışık gönderiminden sonra $(x,y,z)$ ve de $(\xi,\eta,\zeta)$ sistemine göre ölçülmüş- enerjisi olarak adlandıralım. Bu halde yukarda verinlen bağıntının kullanılmasıyla şunu buluruz:

$E_0=E_1+(\frac{E}{2}+\frac{E}{2})$

$H_0=H_1+(\frac{E}{2} \frac{1-\frac{v}{c} cos\phi}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+\frac{E}{2}\frac{1+\frac{v}{c}cos\phi}{\sqrt{1-(\frac{v^2}{c^2})}})=H_1+\frac{E}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Bu denklemlerin farkından şunu elde ederiz:

$(H_0-E_0)-(H_1-E_1)=E(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1)$

Bu terimde $H-E$ şeklinde bulunan iki terimin basit fiziksel anlamları vardır. $H$ ve $E$ aynı cismin -iki birbirine göre hareket eden koordinat sistemlerindeki- enerji değerleridirler. Bu arada bu iki sistemden birisinde ($(x,y,z)$ sistemi) cisim durağandır. Yani $H-E$ farkı cismin başka bir sisteme göre ($(\xi,\eta,\zeta)$ sistemi) kinetik enerjisinden en fazla bir -isteğe göre seçilen $H$ ve $E$ enerjilerinin sabitine bağlı olan- $C$ sabitinin eklenmesi ölçüsünde farklı olabilir. Bu demektir ki

$H_0-E_0=K_0+C$

$H_1-E_1=K_1+C$

çünkü $C$ ışıma sırasında değer değiştirmez. Yani

$K_0-K_1=E(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1)$

Cismin kinetik enerjisi $(\xi,\eta,\zeta)$'ye göre ışımadan dolayı azalır ve hem de cismin özelliklerine bağlı olmayan bir miktarda azalır. $K_0-K_1$ farkı ayrıca hıza ve elektronun kinetik enerjisine bağlıdır. Dördüncü ve daha yüksek derecelernden büyüklükleri gözardı edersek, şu eşitliği yazabiliriz:

$K_0-K_1=\frac{E}{c^2}\frac{v^2}{2}.$

Bu denklemden şu çıkmaktadır: Eğer bir cisim $E$ enerjisini ışıma şeklide yayıyorsa, kendi kütlesi $E/c^2$ kadar azalır. Burada cismin kaybettiği enerjinin ışıma enerjisine dönüşmesi önemli olmadığından, şöyle genelleme yapabiliriz:

Bir cismin kütlesi onun sahip olduğu enerji için bir ölçüsüdür. Enerjisi $E$ kadar değişiyorsa, kütlesi de aynı anlamda -enerji Erg ve kütle gr. olarak ölçüldüğü takdirde- $E/9\cdot 10^20$ kadar değişir.

Sahip olduğu enerji miktarları büyük ölçüde değişen cisimlerde (örn. Radyum tuzlarında) bu kuram sınanabilinicektir. Eğer bu kuram gerçeği yansıtıyor ise, bu ışımanın; ışıyan ve soğuran cisimler arasında eylemsizlik aktarımı yaptığı anlamına gelir."

Enerjinin tanımı; kaynağı zaman ötelemelerinde simetri olan hareket sabitidir.

Herşeyin yukardakinden daha matematiksel kavranabilmesi için Lorentz dönüşümlerinin incelenmesi gerekiyor.

Soru 2'e yanıt: Enerji incelediğimiz sistemle ilişkilendirdiğimiz bir sayısal  büyüklük: bir tenis topunun bir anda 1J, parçacık hızlandırıcısındaki bir elektronun mesela 50GeV enerjisi var denilebilir vs. Bir sistemin belli bir hacimsel kesitine enerji atamak istiyorsak enerji yoğunluğunu $[J/m^3]$ kullanıyoruz.

Soru 3'e yanıt: Açıkçası ben bilmiyorum.  Büyük Patlama'dan (kuramına göre) $10^{-44}s$ sonrasına kadar bilim topluğunun neredeyse hiç bilgisinin olmadığını -kuramsal olarak sicim teorisiyle çalışılıyor- Büyük Hadron Çarpıştırıcısı'ndan (LHC) yeni parçacık keşfedilmesinin umulduğunu sanıyorum. Bu aralıkta evrendeki enerji $>10^{19}$GeV ve evrenin boyutu çok küçük (Planck ölçeği akla gelen bir kavram, ...evren sonradan hızlıca genişlemeye başlıyor) haliyle ortada bugün ölçülebilenden başka bir fizik var.

Comments

Sizin gibi diğer hocalarımız gibi donanımlı,değerli ve iyi insanlarla soru-cevap ortamında bulunmak ve onların bilgilerinden feyz almak çok mükemmel bir his.Çok teşekkür ederim.

---

hocam buna ek olarak Alan kavramını matematıksel veya fızıksel nasıl açıklarız? http://matkafasi.com/66055/alan-ne-demektir-ispatlayiniz

---

Türkçede alan diyince iki farklı kavram kastedilebilir. Birincisi (ingl. area) için Vikipedi'deki tanımın yeterli olduğunu düşünüyorum: "Alan ya da yüzölçümü bir yüzeyin uzayda kapladığı iki boyutlu yer miktarını ölçen bir büyüklüktür." İkincisini şu cevapta yazdım ama daha özele indirgenmiş ($\mathbb{R}^n$'nin açık altçokkatlısı sürümü) olanını da buraya ekleyeyim:

Tanım(vektör alanı, ing. vector field): $n\in\mathbb{N}$ üzere $Ç$ $\mathbb{R}^n$'nin bir açık altçokkatlısı olsun. O zaman bir (vektör) alan(ı) $X:Ç\rightarrow \mathbb{R}^n$ göndermesi olarak tanımlanır.

Not: Fiziksel anlamını için kavramamız için $A\subset \mathbb{R}$; $\gamma:A\rightarrow \mathbb{R}^n$, $Ç$'deki bir eğri olsun. Her $t_0\in A$ noktası için $\frac{d}{dt}\gamma (t)\bigg|_{t_0}\in\mathbb{R}^n$ hız vektörünü ya da $Ç$'deki $\gamma(t_0)\in Ç$ noktasındaki teğet vektörünü tanımlar. $\mathbb{R}$'deki tüm vektörler böylece teğet vektörleri olarak görülebilirler, yani $\mathbb{R}^n$'yi  $\gamma(t_0)$ ile eşleşen teğet uzayı olarak görebiliriz(tanımı için yine cevaba bakılabilir). O zaman bir (vektör)  alanı (vektörü parantez arasına koymak kısaltma olsun diye, $\mathbb{R}$'nin elemanları sayısal olsa bile $\mathbb{R}$ vektör uzayı olduğu için matematiksel anlamda vektörlerdir. $n=1$ için bile doğru) her $a\in Ç$ noktasına bir $X(a)\in\mathbb{R}^n$ teğet vektörü atar.

---

teşekkürler hocam