Question

Pozitif ve $a+b+c=1$ şartını sağlayan $a,b,c$ sayılarının $\frac{1}{1+a} +\frac{1}{1+b} +\frac{1}{1+c} \geq \frac{9}{4}$ eşitsizliğini sağladığını kanıtlayınız

Answer 1

 Aritmetik ortalamanın Harmonik ortalamadan büyük olduğu gerçeğinden yararlanabiliriz:

 a+b+c = 1   ise    (a+1) + (b+1 )+ (c+1) = 4   elde ederiz.

toplanan bu yeni üçlü için sözü geçen eşitsizliği uygularsak

[(a+1) + (b+1 )+ (c+1)]/ 3 >=   3/  [ ( 1/(a+1)+ (1/(b+1))+ (1+/(c+1))]

[ ( 1/(a+1)+ (1/(b+1))+ (1+/(c+1))] > = 9/ [(a+1) + (b+1 )+ (c+1)] = 9/4

Answer 2

Lagrange çarpanı ile $a,b,c$ gerçel sayılar olmak üzere;

$$f(a,b,c,\lambda)=\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}+\lambda\cdot(a+b+c-1)$$ kuralını veren $f$ fonksiyonunun farklı değişkenlere göre türevleri $$\dfrac{df}{da}=\dfrac{-1}{(a+1)^2}+\lambda,\quad \dfrac{df}{db}=\dfrac{-1}{(b+1)^2}+\lambda,\quad \dfrac{df}{dc}=\dfrac{-1}{(c+1)^2}+\lambda,\quad \dfrac{df}{d\lambda}=0$$ Bu sistemler birbirine eşitlenince: $$\lambda=\dfrac{1}{(a+1)^2}=\dfrac{1}{(b+1)^2}=\dfrac{1}{(c+1)^2}$$ olduğu görülür. Bu durumda eşitliğin sağlandığı durumlar $|a+1|=|b+1|=|c+1|$ olur. Pozitif olacakları için $a+1=b+1=c+1$ elde edilir son durumda, ve buradan $$\dfrac{1}{1+\frac13}+\dfrac{1}{1+\frac13}+\dfrac{1}{1+\frac13}=\dfrac{9}{4}$$ pozitif $a,b,c$ sayıları için elde edilen minimum değerdir. O halde: $$\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\geq \dfrac{9}{4}$$ olduğu elde edilir.

Answer 3

cauchy-SB ile çözüm

$(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c})(a+1+b+1+c+1)\ge (1+1+1)^2$ ise

$$(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c})(a+b+c+3)\ge 9$$ ve $$(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c})\ge \frac{9}{4}$$

Comments

Aslinda ilki: aritmetik ortalama > harmonik ortala degil mi? Yani ilk ispatta kullanilan AO>HO burdan gelmiyor mu?

Galiba bunlar iki farkli yontem olarak kullaniliyor.

---

Bu hali ile birebir aynılar ama cauchy biraz daha genel örneğin $\frac{4}{a+1}$ olsaydı eşitliğin sağ tarafındaki ilk terim iki olacaktı