Burak kaç soru işaretlerse YGS barajını geçme olasılığını maksimize eder?

Question

Burak'ın $5$'er şıkkı olan $160$ soruluk YGS sınavındaki sorulara dair hiç bir fikri yoktur. Bu yüzden tüm soruları rastgele işaretleyecektir. $4$ yanlış $1$ doğruyu götürdüğüne göre Burak $24$ net olan LYS'ye girebilme barajını geçebilmek için kaç soru işaretlerse barajı geçebilme olasılığını maksimize eder?

Comments

Biz sıramızı savdık ama enteresan bir soru olduğundan paylaşmak istedim :)

---

hepsini işaretlese bile hepsi yanlış olamıyormu:) yoksa tüm şıklara eşit dağılım hesabınımı düşünüyoruz? soruyu tam anlayamadım

---

Soruların her birinin doğru çıkma ihtimali $\%20$. Elbette hepsi yanlış olabilir garantilemeyecek zaten şansını maksimize edecek.

---

24 soru isaretledigimizde baraji geçme olasiligimiz $\frac{1}{5^{24}}$ olur.

25 soru isaretledigimizde baraji geçme olasiligimiz $\frac{26}{5^{25}}$ olur.

26 soru isarerledigimizde baraji geçme olasiligimiz $\frac{352}{5^{26}}$ gelir.İsaretldigimiz soru sayisi arttikca baraji geçme olasiligimiz artiyor.

---

olasılık tamam ama burak için garantilemek diyor orayı çözemedim.

---

Burak at'tir, at da murad.

---

olasılık yoktur,hayırlısı olur :)

---

@dexor hocam dogru sayisi degil nete gore geciliyor baraj soruda isleri zorlastiran da o.

---

Şu soruyu Wolfram-Alphaya anlatabilecek bir hayırsever var mı?

---

Demin bir yazmayı denedim. Bilgisayara bunun denklemini anlatmaktansa kendim çözmeyi yeğlerim :)

---

Soruyu cozdum cevap $159$ cikti yanlis yapmadiysam. Aksam bilgisayarda yazarim.

Answer 1

Burak $x$ tane soru işaretlesin. Eğer bunun $a$ tanesi doğru ise , $x-a$ tanesi yanlış olacaktır. Net sayısı $=a-\frac{x-a}{4}\geq 24\Rightarrow a\geq 24+\frac{x}{4}$ olmalıdır. Öte yandan $x\geq a$ olduğundan Bu eşitsizliği sağlayan en küçük $x=32$ için sağlanır. Yani Burak şanslı ise en az $32$ soruyu rastgele işaretliyerek barajı aşar. Ve bunun olasılığıda $\frac{1}{5^{32}}$ dir.  

Diğer taraftan bir soruyu doğru cevaplama olasılığı $1/5$, yanlış işaretleme olasılığı $4/5$ dir.  Bu işi $x$ defa yapacağı için toplam olasılık $\left(\frac{1}{5}+\frac{4}{5}\right)^x$ olur. Burada $24\leq x\leq 160$ olduğu unutulmamalıdır. 

$\left(\frac{1}{5}+\frac{4}{5}\right)^x=C(x,0)(\frac{1}{5})^x+C(x,1)(\frac{1}{5})^{x-1}(\frac{4}{5})+C(x,2)(\frac{1}{5})^{x-2}(\frac{4}{5})^2+...+C(x,23)(\frac{1}{5})^{x-23}(\frac{4}{5})^{23}+\\C(x,24)(\frac{1}{5})^{x-24}(\frac{4}{5})^{24}+...+C(x,x)(\frac{4}{5})^{x}$ Bizden istenen ilk 24 terimi içeren toplam fonksiyonun maksimize edilmesidir.

$f(x)=C(x,0)(\frac{1}{5})^x+C(x,1)(\frac{1}{5})^{x-1}(\frac{4}{5})+C(x,2)(\frac{1}{5})^{x-2}(\frac{4}{5})^2+...+C(x,23)(\frac{1}{5})^{x-23}(\frac{4}{5})^{23}$

Comments

hocam 2.satırda $\dfrac{5}{4} a\geq 24$ olucak sanırım.

Answer 2

Burak'ın işaretlediği $n$ sorudan $k$ tanesi doğru olsun. Barajı geçebilmesi için yapması gereken minimum doğru sayısına $m$ diyelim. Burak'ın $24$ net yapması gerektiğine göre $m-\frac{n-m}{4}\geq 24$ olmalı. Düzenlersek $m\geq \frac{n+96}{5}$ olur. Bu durumda $n$ sayısı değişirken $m$ sayısı da sabit kalmayacak, $n$'in $5$ artışında $1$ artacak. $m$'in $1$ arttığı noktalara "kritik nokta" adını verelim. Önce olasılığın kritik noktaların dışında kalan  artışını inceleyelim, ardından kritik noktaları test edelim. $n$ kadar soruyu işaretleyen Burak'ın barajı geçme olasılığı $P_n$ olsun.

$P_n= \sum\limits_{k=m}^n(\frac{n!.4^{n-k}}{k!.(n-k)!.5^n})$ olduğuna göre kritik olmayan noktalardaki $n$ ve $n+1$ sayıları için $P_n$ ve $P_{n+1}$ arasındaki farkın sıfırdan büyük veya küçük olması bize fonksiyonun artanlığı veya azalanlığı hakkında bilgi verecektir. O halde;

$P_{n+1}=\sum\limits_{k=m}^{n+1}(\frac{(n+1)!.4^{n-k+1}}{k!.(n-k+1)!.5^{n+1}})$

$=\frac{(n+1)!.4^{n-m+1}}{m!.(n-m+1)!.5^{n+1}}+\cdots+\frac{(n+1)!.4^{n-k+1}}{k!.(n-k+1)!.5^{n+1}}+\cdots+\frac{(n+1)!.4}{n!.1!.5^{n+1}}+\frac{(n+1)!}{(n+1)!.5^{n+1}}$

$P_{n}=\sum\limits_{k=m}^n(\frac{n!.4^{n-k}}{k!.(n-k)!.5^n})=\frac{n!.4^{n-m}}{m!.(n-m)!.5^n}+\cdots+\frac{n!.4^{n-k}}{k!.(n-k)!.5^n}+\cdots+\frac{n!}{ n!.5^n}$ ifadelerini taraf tarafa çıkartırsak $P_{n+1}-P_n= \sum\limits_{k=m}^n(\frac{(n+1)!.4^{n-k+1}}{k!.(n-k+1)!.5^{n+1}}-\frac{n!.4^{n-k}}{k!.(n-k)!.5^n})+\frac{1}{5^{n+1}}$

$=\sum\limits_{k=m}^n(\frac{n!.4^{n-k}}{k!.(n-k)!.5^n}(\frac{4(n+1)}{5(n-k+1)}-1))+\frac{1}{5^{n+1}}$ olur. Eğer $\frac{4(n+1)}{5(n-k+1)}-1>0$ ise olasılık fonksiyonu kritik olmayan noktalarda sürekli artandır. Bu durumda $5k>n+1$ olduğu şartlarda fonksiyon artandır. Başlangıçta $m\geq \frac{n+96}{5}$ şartını koştuğumuzdan $5k>n+1$ şartı her zaman sağlanır o halde olasılık fonksiyonu kritik olmayan her noktada artandır.

Eğer kritik noktalarda iki $n$ ve $n+1$ sayısı seçersek yine $P_n$ ve $P_{n+1}$ arasındaki farkın sıfırdan büyük veya küçük olması bize fonksiyonun artanlığı veya azalanlığı hakkında bilgi verecektir. O halde;

$P_{n+1}=\sum\limits_{k=m+1}^{n+1}(\frac{(n+1)!.4^{n-k+1}}{k!.(n-k+1)!.5^{n+1}})$

$=\frac{(n+1)!.4^{n-m}}{(m+1)!.(n-m)!.5^{n+1}}+\cdots+\frac{(n+1)!.4^{n-k+1}}{k!.(n-k+1)!.5^{n+1}}+\cdots+\frac{(n+1)!}{(n+1)!.5^{n+1}}$

$P_{n}=\sum\limits_{k=m}^n(\frac{n!.4^{n-k}}{k!.(n-k)!.5^n})=\frac{n!.4^{n-m}}{m!.(n-m)!.5^n}+\cdots+\frac{n!.4^{n-k}}{k!.(n-k)!.5^n}+\cdots+\frac{n!}{ n!.5^n}$ ifadelerini taraf tarafa çıkartırsak $P_{n+1}-P_{n}=\sum\limits_{k=m+1}^{n+1}(\frac{(n+1)!.4^{n-k+1}}{k!.(n-k+1)!.5^{n+1}})-\sum\limits_{k=m}^n(\frac{n!.4^{n-k}}{k!.(n-k)!.5^n})$

$=\sum\limits_{k=m}^n(\frac{(n+1)!.4^{n-k}}{(k+1)!.(n-k)!.5^{n+1}}-\frac{n!.4^{n-k}}{k!.(n-k)!.5^n})=\sum\limits_{k=m}^n(\frac{n!.4^{n-k}}{k!.(n-k)!.5^n}(\frac{n+1}{5(k+1)}-1))$ olur. Eğer $\frac{n+1}{5(k+1)}-1<0$ ise olasılık fonksiyonu kritik noktalarda sürekli azalandır. Bu durumda $5(k+1)>n+1$ olduğu şartlarda fonksiyon azalandır. Başlangıçta $m\geq \frac{n+96}{5}$ şartını koştuğumuzdan $5(k+1)>n+1$ şartı her zaman sağlanır o halde olasılık fonksiyonu her kritik noktada azalandır. 

Bu bilgilere bakılarak kritik noktadaki $159$'un tepe noktası olduğunu çıkarabiliriz. Burak eğer $159$ soru işaretlerse barajı geçme şansını maksimize eder ve barajı geçme olasılığı $P_{159} \approx \%0,223$'tür.

Comments

Sondaki olasılık hesabı Wolfram-Alphadan onun haricinde çözüm bana ait :) Bence Burak bunları hesaplayabiliyorsa barajı sadece matematiği çözüp fulleyerek de geçebilir :)

---

4.satırda n 5 artarken m neden 1 artmak zorunda açıklarmısın.

---

Sorunun cozumunu zorlastiran sey de o. Soru dogru soru degil nete gore barajli. Atiyorum 24 tane sallamissin hepsi tutmus. Eger 5 tane daha sallarsan bunlardan en az biri dogru olmali ki 24 net barajini gecebilelim. Bu durumda salladigimiz soru (n) 5 artarken dogru sayimiz (m) 1 artmak zorunda.