Question

 $\frac{A(DEF)}{A(ABC)}=\frac{x.z.u+y.t.v}{a.b.c}$ eşitliğinin her zaman geçerli olduğunu ispatlayınız.

Comments

Yazıyla anlatabileceğimin farkındayım. Fakat karışıklık olmaması için resimli sordum.

Answer 1

$A(DEF)=A(ABC)-A(AEF)-A(BDF)-A(CDE)$ olduğuna göre alanları teker teker bulalım.

$A(ABC)=\frac{a.b.c}{4R}=\frac{(x+y).(z+t).(u+v)}{4R}$

$A(AEF)=\frac{u.t.sinA}{2}$ sinüs bağıntısından $sinA=\frac{x+y}{2R}$ olduğundan $A(AEF)=\frac{u.t.(x+y)}{4R}$

$A(BDF)=\frac{x.v.sinB}{2}$ sinüs bağıntısından $sinB=\frac{z+t}{2R}$ olduğundan $A(BDF)=\frac{x.v.(z+t)}{4R}$

$A(CDE)=\frac{y.z.sinC}{2}$ sinüs bağıntısından $sinC=\frac{u+v}{2R}$ olduğundan $A(CDE)=\frac{y.z.(u+v)}{4R}$ 

O halde $\frac{A(DEF)}{A(ABC)}=\frac{\frac{(x+y).(z+t).(u+v)}{4R}-\frac{x.v.(z+t)}{4R}-\frac{x.v.(z+t)}{4R}-\frac{y.z.(u+v)}{4R}}{\frac{a.b.c}{4R}}=\frac{(x+y).(z+t).(u+v)-x.v.(z+t)-x.v.(z+t)-y.z.(u+v)}{a.b.c}$ olmalı. $(x+y).(z+t).(u+v)-x.v.(z+t)-x.v.(z+t)-y.z.(u+v)=x.z.u+y.t.v$ olduğundan  $\frac{A(DEF)}{A(ABC)}=\frac{x.z.u+y.t.v}{a.b.c}$ teoremini ispatlamış oluruz.