Üçgen eşitsizliğini herhangi n tane reel sayı için genişletme.

Question

$a_{1},a_{2},a_{3}......a_{n-1},a_{n} :\in\mathbb{R}$

$\Rightarrow$

Ünlü üçgen eşitsizliği 

$|a_{1}|+|a_{2}|\geq |a_{1}+a_{2}|$

Soru 1:Üstte bulunan üçgen eşitsizliğini ispatlayınız.

Soru 2:Üstte bulunan üçgen eşitsizliğini  $n$  tane reel sayı için ($a_{1},a_{2}.....a_{n}$) "tümevarım" yöntemi ile genişletiniz.Şöyleki;

$|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+.......+|a_{n-1}|+|a_{n}|\geq |a_{1}+a_{2}+a_{3}+......+a_{n-1}+a_{n}|$

bu eşitsizliği ispatlayınız.

Comments

Aslında ispatlık pek bir şey yok. Sonuç olarak iki doğru parçasının birleştirildiğinde aldığı en büyük değer $a+b$'dir zaten(İspat illaki gerekiyorsa cosinüs bağıntısından $\theta=\pi$ diyebilirsin.). Bunu diğer çokgenlere de yayabiliriz. Çok matematiksel bir ispat çıkarılabilir mi illaki çıkar ama anlaşılıyor bu şekilde de.

---

tabi anlaşılıyor sayı negatif veya pozitif olsa toplanıp mutlağı alındıgında tek tek mutlagından kücüktür ama bunu matematıksel olarak ıspatlamak soru zaten. 

---

sanırım açıyı pi ye götürmekten başka çare yok tam cebirsel bir ispat bulamadım.

Answer 1

İlk olarak $x\in\mathbb R$ için;


Tanım gereği;


$|x|=\max\{x,-x\}$

ve

$|x|\ge 0$,    $|x|=|-x|$

ve

$u\ge |x|\quad \Rightarrow\quad u\ge x\ge -u$

Olduğunu bilelim  ve hatta burada ispatlanacak durumlardan ilk bir kaçını da bilelim , ilk olarak basit üçgen eşitsizliğini ve negatifler için olanı ispatlayalım sonra da genelleştirelim;(http://matkafasi.com/99514)


$|x|=\max\{x,-x\}$  olduğundan

$|x|=\max\{x,-x\}\ge x$

$|x|=\max\{x,-x\}\ge -x\quad \to\quad x\ge -|x|$

Birleştirirsek;

$|x|\ge x\ge -|x|$   olur ve bir $y$ için daha bunu yapalım;


$|y|\ge y\ge -|y|$   , ve sıralı toplayalım;


$|x|+|y|\ge x+y \ge -(|x|+|y|)$  bu da yukardaki bildiğimiz şeylerin 3.sünden dolayı;

$||x|+|y||\ge |x+y|$ ,  $||x|+|y||$  bu herzaman zaten pozitivdir dolayısıyla;

$\star ||x|+|y||\ge |x+y|\quad\equiv\quad |x|+|y|\ge |x+y|$       $\Box$


Bundan dolayı;

$|x|=|x-y+y|\le |x-y|+|y|$

$|x|-|y|\le |x-y|$   $\clubsuit$

ve dolayısıyla;

$|y|-|x|\le|y-x|=|x-y|$    başka bir ifadeyle;


$|x|-|y|\ge -|x-y|$   olur.       $\spadesuit$;



$\clubsuit$   ve   $\spadesuit$  sonuçları birleşirse;

$\star\star \boxed{\boxed{|x-y|\ge |x|-|y|\ge -|x-y|\quad\Rightarrow\quad |x-y|\ge||x|-|y||}}$

Hadi $|x|+|y|\ge |x+y|$   durumunu genelleştirelim;

Şöyle birşey tanımlayalım; $a_i=\sum s_i=s_0+s_1+s_2+.....+s_i$

$a_i=a_{i-1}+s_i$ olduğu aşikâr;

$|   a_i   |\le |a_{i-1}|+|s_{i}| \le |a_{i-2}|+|s_{i-1}|+|s_i|\le .......\le \displaystyle\sum_{k=0}^i |s_k|$

Yani;

$\boxed{\left|\displaystyle\sum_{k=0}^i s_k\right|\le \displaystyle\sum_{k=0}^i |s_k|}$     Q.E.D.   $\Box$