$p$ asal bir sayi ise $x^{p-1}+2x^{p-2}+\cdots+(p-1)x+p$ indirgenemezdir.

Question

$p$ asal bir sayi ise $x^{p-1}+2x^{p-2}+\cdots+(p-1)x+p$ indirgenemez oldugunu gosteriniz.

Answer 1

$p(x)=x^{p-1}+2x^{p-2}+\dots+(p-1)x+p$ olsun. $\mathbb{Z}[x]$ halkasındaki indirgenemezlikten bahsediliyor diye tahmin edip ona göre yazıyorum.

İddia: $p$ polinomunun tüm köklerinin normu $1$'den büyüktür.

İspat: Diyelim ki $a$ sayısı $p$ polinomunun (karmaşık) bir kökü olsun. O halde, $$0=(a-1)p(a)=a^p+a^{p-1}+\dots+a-p$$ olur. Diyelim ki $\|a\|\leq 1$ olsun. Bu durumda $$p=\|a^p+a^{p-1}+\dots+a\|\leq \sum_{i=1}^{p}\|a\|^i\leq p$$ eşitsizliği çıkar ki, ancak $\|a\|=1$ iken bu durum sağlanır, yani $a$ birim çember üzerinde. $\theta$, $a$'nın $x$ ekseniyle pozitif yönde yaptığı açı olmak üzere $a=e^{i\theta}$ yazabiliriz. $$a^p+a^{p-1}+\dots+a=p$$ denkleminin bir sonucu olarak $$\text{cos}p\theta+\text{cos}(p-1)\theta+\dots+\text{cos}\theta=p$$ eşitliğini elde ederiz. $p$ tane sayısının toplamı $p$ olmuş ve bu sayıların her biri en fazla $1$ olabilir. Demek ki ki her biri $1$, yani $\theta=0$ yani $a$ ancak $1$ olabilir. Ama $p(1)\neq 0$. O halde $\|a\|>1$.

Diyelim ki $p$ polinomu $\mathbb{Z}[x]$ halkasında indirgenebilir olsun, yani  $p(x)=q(x)r(x)$. Buradan $$p=p(0)=q(0)r(0)$$ sonucu elde edilir. $q(0)$ ve $r(0)$ birer tamsayı olduğuna göre ya $q(0)=\pm 1$ ya da $r(0)=\pm 1$. Diyelim ki $q(0)=\pm 1$. .

Şimdi $q$ polinomunun tüm (karmaşık) kökleri $q_1,\dots,q_m$ olsun. Bu kökler aynı zamanda $p$ polinomunun da kökleri oldukları için her birinin normu $1$'den büyük. $q$ polinomunu  $$q(x)=\prod_{i=1}^{m}(x-q_i)$$ olarak yazalım. Buradan, $$1=|q(0)|=\|(-1)^m\prod_{i=1}^{m}q_i\|=\prod_{i=1}^{m}\|q_i\|>1$$ ifadesi elde edilir ki, çelişki.

---

Çok ilginç bir soru.