Rieman parçalanmasıyla $f(x)=(1/3)^x$ integrali

Question

$f(x)=(1/3)^x$ fonksiyonunu $x\ge 0$ için aralıkların eni 1/2 cm olacak şekilde parçalanırsa degeri ne olur?

burada $\Delta x_k=\frac12$

parçalanma noktaları $x_0=0,x_1=\frac12,x_2=\frac22...x_k=\frac k2$

$[x_{k-1},x_k]$ aralıgında en büyük degerini $f(x_{k-1})$ en kücügünü  $f(x_{k})$'de alır

$S_{r}=\sum _{k=1}^{n}f\left( x_{k}\right) \Delta x=\dfrac {1} {2}\sum _{k=1}^n\left( \dfrac {1} {3}\right) ^{\dfrac {k} {2}}=\dfrac {1} {2}\dfrac {1} {\sqrt { 3}}\left( \dfrac {1-\left( \dfrac {1} {\sqrt {3}}\right) ^{n}} {1-\dfrac {1} {\sqrt {3}}}\right)$

büyük degeri icin $S_{l}=\sum _{k=1}^{n}f\left( x_{k-1}\right) \Delta x=\dfrac {1} {2}\sum _{k=1}^n\left( \dfrac {1} {3}\right) ^{\dfrac {k-1} {2}}=\dfrac {1} {2}\left( \dfrac {1-\left( \dfrac {1} {\sqrt {3}}\right) ^{n}} {1-\dfrac {1} {\sqrt {3}}}\right)$

şimdi bundan sonra $\lim _{n\rightarrow \infty } S_l \le\lim _{n\rightarrow \infty }R\left( f,P\right) \le \lim _{n\rightarrow \infty } S_r$ oldugunda  sag limit ile sol limit farkli cikiyor. 

cevap olarak  sol limit i yani $\dfrac {1} {2\left( \sqrt3 -1\right) }$ ü almış . acaba hata nerede?

Comments

ust toplam k=0 dan baslamasi lazim..

---

hocam tam olarak anlamadım. şimdi alt toplamın $1/\sqrt 3$  üst toplam 1 degil mi ilk terimi

---

Ust_toplam=$S_{l}=\dfrac {1} {2}\sum _{k=1}^n\left( \dfrac {1} {3}\right) ^{\dfrac {k-1} {2}}=\dfrac {\sqrt{3}} {2}\left( \dfrac {1-\left( \dfrac {1} {\sqrt {3}}\right) ^{n}} {1-\dfrac {1} {\sqrt {3}}}\right)$

Alt_toplam=$S_{r}=\dfrac {1} {2}\sum _{k=1}^n\left( \dfrac {1} {3}\right) ^{\dfrac {k} {2}}=\dfrac {1} {2\sqrt{3}}\left( \dfrac {1-\left( \dfrac {1} {\sqrt {3}}\right) ^{n}} {1-\dfrac {1} {\sqrt {3}}}\right)$

Zaten en=$\Delta x=1/2$ sabitlendigi icin ut toplam herzaman alt toplamdan buyuk cikar bu soru icin.. 

Ust_toplam=Tam_Deger=Alt_toplam  olmasi icin $\Delta x$  sifira gitmesi gerek..

---

Ayrica orta degeri de alabilirsin.  Neden alt alindigina dair bir bilgi yok mu?

---

Ayrica orta degeri de alabilirsin.  Neden alt alindigina dair bir bilgi yok mu?

Okkes'in son cumlesine ek olarak sabit fonksiyon olursa da esit olabilir. Fakat bu ornek icin dedigi gibi.