Bir $(a,b,c)$ noktasının $x=y=z$ doğrusuna göre simetriği nedir?

Question

$xy$ düzlemdeyiz ve elimizde rastgele bir $(a,b)$ noktası var. Bu noktanın $x=y$ doğrusuna göre simetriğini bulmayı biliyoruz.

Şimdi de $xyz$ uzaydayız ve elimizde rastgele bir $(a,b,c)$ noktası var. Bu noktanın $x=y=z$ doğrusuna göre simetriği nedir?

Answer 1

İki kez yanlış yaptıktan sonra döndürü matrisleriyle doğrusunu yazayım. Bu haliyle ortaöğretim değil de lisans sorusu gibi olacak bu ama.

Yapacağımız şu: $(1,1,1)$ eksenini döndürerek $x$ ekseni ile çakışık hale getireceğiz, sonra simetriyi $x$ eksenine göre alacağız, sonra tekrar döndürerek $x$ eksenini $(1,1,1)$ eksenine çevireceğiz.

$x$ eksenini $(1,1,1)$ yönüne çevirmek için, önce $z$ ekseni etrafında 45 derece, daha sonra yeni $y$ ekseni etrafında $\theta$ kadar döndürmek gerekir. Burada $\theta$, $(1,1,1)$ vektörünün $xy$ düzlemi ile yaptığı açı. Yani $\displaystyle \cos{\theta}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ ve $\displaystyle \sin{\theta}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Döndürü matrislerini yazalım:
$\displaystyle D_y=\left( \begin{array}{cc} \cos{\theta} & 0 & -\sin{\theta} \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin{\theta} & 0 & \cos{\theta} \end{array} \right)$
$\displaystyle D_z=\left( \begin{array}{cc} \cos{45} & -\sin{45} & 0 \\ \sin{45} & \cos{45} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$
$x$ eksenine göre simetri matrisi de şu:
$\displaystyle S_x=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right)$
Bunlar orthogonal olduğu için tersleri simetriklerine eşittir. Artık simetriyi bulabiliriz:
$D_zD_yS_xD_y^ {-1}D_z^{-1} \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -a/3+2b/3+2c/3 \\ 2a/3-b/3+2c/3 \\ 2a/3+2b/3-c/3 \end{array} \right)$

Comments

sonuç çok karmaşık çıkmadığına göre herhalde daha basit bir yolu vardır.

---

Aslında soru orta öğretim sorusu mu, bilmiyorum. İlk bakışta kolay gibi duruyor ama belli ki değil. Ben de beceremedim temel araçlarla. Eminim ince bir noktası vardır.