Question

Vektörel carpim(cross product) neden $\Bbb{R^{n}}$'de tanımlanamıyor? ($n\neq 3$)

Comments

Ne gibi özellikler arıyoruz?

$n=4$ (Kuaterniyonlar=Hamilton un sayıları) ve $n=8$ (Cayley sayıları) için (hem de sıfır bölensiz) çarpım var. 

---

n=7 için de  tanımlanabiliyor diye biliyorum.

---

$\Bbb{R^{3}}$'te tanımlanan çarpımı istenilen boyuta genişletebilir miyiz? $n=7$ durumunu yorumunuzdan sonra okudum. Sağolun.

---

Vektorel carpimi nasil tanimliyorsunuz?

---

$u=(a_{1},a_{2},a_{3}),v=(b_{1},b_{2},b_{3})\in \Bbb{R^{3}}$ olsun. $u\times v=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})$ ile tanımlanıyor.

---

Evet de soru bu degil, di mi? $\mathbb{R}^3$'te tanimlanan carpimi istenilen boyuta genisletebilir miyiz derken, DoganDonmez'in dedigi gibi hangi ozellikleri korumak istiyoruz? Yoksa once $i : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^n$ diyerek $\mathbb{R}^3$'u $\mathbb{R}^n$'e gomerim, sonra da $\pi \circ i = id$ olacak sekilde bir $\pi$ alirim. $\mathbb{R}^n$ uzerindeki islemi de $$\mathbb{R}^n \otimes \mathbb{R}^n \xrightarrow{\pi \otimes \pi} \mathbb{R}^3 \otimes \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R^3} \xrightarrow{i} \mathbb{R}^n$$ bileskesiyle tanimlarim? Bu islem $\mathbb{R}^3$'e kisitlandiginda vektorel carpim olur. Yani vektorel carpimi genisletmis olurum. Ama istenilen bu degil. Belli ki her genisletmeyi istemiyoruz.

"Vektorel carpimi nasil tanimliyorsunuz?" derken sormak istedigim DoganDonmez'in sorusunun baska bir versiyonuydu sadece. Vektorel carpimin boyle tanimlanmasinin bir nedeni var. Bu nedenlerden birini mi genisletmek istiyoruz mesela?

---

Vektörel çarpımın böyle tanımlanmasının nedeni nedir? Ayrıca bu çarpımı herhangi bir vektör uzayı üzerinde tanımlamak mümkün olur mu? Bu vektör uzayı reel yada karmaşık sayılar cismi üzerinde olmasın.