diferensiyel geometri

Question

$G$, $GL(n, \mathbb R)$bir grup olsun. Elemanları $g$, girdileri $g^{ij}$ olan $n×n$ matrisleri olmak üzere, grup manifoldu üzerinde koordinatları olarak kabul ediyoruz; özellikle girdileri $δ^{ij}$ olan birim matrisi ile $e∈G$ birim elemanı olarak tanımlıyoruz. $\tilde V$ bazı sabit $n×n$ matrisi olmak üzere, $V$, $V|_e=\tilde V^{ij}\frac{∂}{∂x^{ij}}|_{x^{ij}=δ^{ij}}$ olarak tanımlanan sol değişmez vektör alanı olsun.

a) $V|_g=(g\tilde V)^{ij}\frac{∂}{∂y^{ij}}|_{y^{ij}=g^{ij}}$ gösteriniz. (ipucu: $V|_g$ 'nin, bazı $f(y^{ij})$ fonksiyonu ile $y^{ij}=\sum _{k=1}^n g^{ik}x^{kj}$ üzerinde etkili olmasını ve $V$'nin left-invariance 'nı kullan.)

b) $\tilde U=\tilde V\tilde W−\tilde W\tilde V$ olmak üzere, $[V,W]|_g=U|_g$ gösteriniz. a)'yı kullanarak

Comments

"Diferensiyel Geometri" daha uygun bir başlık olur diye düşünüyorum.