Question

y=√x eğrisinin (0,1) noktasına en yakın noktası hangi noktadır?

Comments

Sorunun kategorisi LİSANS olmamalı.

Answer 1

Verilen eğri üzerindeki bir $x,\sqrt x)$ noktasının $(0,1)$ noktasına en yakın olduğunu düşünelim. Eğer aradaki uzaklık $d$ ise $d(x)=\sqrt{x^2+(\sqrt x-1)^2}$ dir. Bunun türevini sıfırlayalım.

$2x+2(\sqrt x-1).\frac{1}{2\sqrt x }=0\Rightarrow x\sqrt x+x-\sqrt x=0\Rightarrow \sqrt x(x-1)=-x$ Buradan da $x^3-3x^2+x=0\Rightarrow x(x^2-3x+1)=0$ bulunur bu son denklemin üç kökü vardır. Bunlar $x=0,x=\frac{3-\sqrt 5}{2},x=\frac{3+\sqrt 5}{2}$ dır. Bunlara karşılık gelen ve $y=\sqrt x$ eğrisi üzerinde olan noktalar $(0,0),(\frac{3-\sqrt 5}{2},\frac{\sqrt 5-1}{2}),(\frac{3+\sqrt 5}{2},\frac{\sqrt5+1}{2})$ dir. Bu noktalardan hangisinin istenen olduğunu bulmayı size bırakıyorum.