Sonsuz toplamı bulunuz

Question

$\Sigma_{n=1}^{n=\infty} \frac{2n-1}{2^n}=?$

limitini  bulunuz.

Answer 1

$1/2=x$ diyelim. Bu durumda

$$\sum\limits_{n=1}^\infty x^n=\frac{x}{1-x}$$ ve  $$\sum\limits_{n=1}^\infty 2n \cdot x^{n}=\frac2x(\sum\limits_{n=1}^\infty n \cdot x^{n-1})=\frac2x(\frac{x}{1-x})^\prime$$ olur. Gerisi sondaki turevi alip $x=\frac12$ koymak ve tabi ki bunlarin soru ile baglantisini gormek.