Paydası köklü integralde dönüşüm nasıl yapılmalıdır?

Question

$\int \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2} }$ integralini hesaplamak için dönüşüm nasıl yapılmalıdır?

Comments

$\frac{ -\pi}{2} \le \theta \le \frac{ \pi}{2}$ olduğundan

(Yani sinus fonk. Tersi olduğu aralik) Ve cos bu aralikta pozitif . O sebeple  mutlak degere gerek yok.

---

Dönüşüm,  x-1=cos$\theta$ şeklinde yapılabilir miydi?

---

Yapilabilir ama açi [0 , pi ] araliğinda alinmali yani cos fonksiyonunun tersi olan aralik ama genelde sin dönusumu kullanilr.

Answer 1

$2x-x^2=1-( x-1 )  ^2$ dir.

$x-1=\sin \theta$

$dx=\cos\theta d\theta$ 

$\int \dfrac { \cos\theta } {\cos \theta  }  d\theta= \theta +c$

$=\arcsin(x-1)+c$

Comments

$cos \theta$ nın değeri negatif olamaz mı?  Payda |$\cos\theta$|  mı olacaktı?