Kinetik Reaksiyonlar icin diferansiyel denklem sistemi

Question

Sabit hacimli kesikli bir reaktörde gerçekleşmekte olan reaksiyon aşagıdaki gibidir.

$A\xrightarrow{k_1}B\xrightarrow{k_2}C$

A nın başalangıç derişimi (t=0) CA0 olarak gösterilmektedir.Başlangıçta (t=0) B ve
C ortamda bulunmamaktadır.
Birim reaktör hacmi için reaksiyon hızları aşagıdaki gibidir.

$RA=k_1CA^n$

$RB=k_1CA^n - k_2CB^m$

CB(t) yi tanımlayan difarensiyel denklemlerin çözümlerini aşagıdaki koşullar için bulunuz.

$a)n=1, m=1\\ b)n=2, m=1\\ c)n=1, m=2$

ipucu:şıklardan birinde $\alpha=k_2t$ değişken değiştirilmesi yapmak elinizdeki denklemi bilinen denklem formatlarından birine dönüştürmeye olanak tanıyacaktır.

Answer 1

  $$\Large A\xrightarrow{k_1}B\xrightarrow{k_2}C$$

 

$A$'nin  derisimi $[A]$ ile ve $t=0$ daki derisimi ise $[A]_0$ ile gosterelim. $[A]_0=[A]_0, \quad[B]_0=0,\quad[C]_0=0.$ Reaksiyon hizi $\dfrac{d[X]}{dt}$ ile verilir.

 

 

$$\begin{array}{lr}   \dfrac{d[A]}{dt}=-k_1[A]^n&&&&&(1 )  \\ \\ \dfrac{d[B]}{dt}=k_1[A]^n-k_2[B]^m &&&&& (2) \\\\ \dfrac{d[C]}{dt}=-k_2[B]^m&&&&& (3)   \end{array}$$

____________________________________________________________

$a)\quad n=1, m=1$

 

$$\begin{array}{lr}   \dfrac{d[A]}{dt}=-k_1[A]&&&&&(1 )  \\ \\ \dfrac{d[B]}{dt}=k_1[A]-k_2[B] &&&&& (2) \\\\ \dfrac{d[C]}{dt}=-k_2[B]&&&&& (3)   \end{array}$$

 

$(1)$'i cozerek baslayalim.

 

$\dfrac{d[A]}{dt}=-k_1[A]\implies \dfrac{d[A]}{[A]}=-k_1dt\implies \displaystyle\int\dfrac{d[A]}{[A]}=\int -k_1dt$

 

$\ln[A]=-k_1t+C_1\implies[A]=C_1e^{-k_1t}$ 

 

$t=0\implies [A]_0=C_1\implies [A]=[A]_0e^{-k_1t}$

 

$(2)$ de yerine koyalim.

 

$\dfrac{d[B]}{dt}=k_1[A]_0e^{-k_1t}-k_2[B]\implies\dfrac{d[B]}{dt}+k_2[B]=k_1[A]_0e^{-k_1t}$ homojen olmayan lineer denklem elde edilir.

 

$x'+p(t)x=f(t)$ birinci dereceden homojen olmayan diff denklemin genel cozumunu hatirlayalim.

 

Interal carpani $\displaystyle\mu(t)=e^{\int p(t)dt}=e^{\int k_2dt}=e^{k_2t}$ olur. Her iki tarafi $\mu(t)$ ile carparsak

 

$e^{k_2t}\dfrac{d[B]}{dt}+k_2[B]e^{k_2t}=k_1[A]_0e^{-k_1t}e^{k_2t}$

 

$\displaystyle\int\dfrac{d\left([B]e^{k_2t}\right)}{dt}dt=k_1[A]_0\int e^{(k_2-k_1)t}dt$

 

$[B]e^{k_2t}=k_1[A]_0\dfrac{e^{(k_2-k_1)t}}{k_2-k_1}+C_1$

 

$[B]=k_1[A]_0\dfrac{e^{(k_2-k_1)t}}{k_2-k_1}e^{-k_2t}+C_1e^{-k_2t}$

 

$[B]_0=k_1[A]_0\dfrac{1}{k_2-k_1}+C_1=0\implies C_1=-k_1[A]_0\dfrac{1}{k_2-k_1}$

 

$[B]=\dfrac{k_1[A]_0}{k_2-k_1}\left(e^{-k_1t}-e^{-k_2t}\right)$

 

Bu noktadan sonra  $[B]$'yi $3)$'de yerine koyup $[C]$'yi bulabiliriz. Diger yontem ise $[A]+[B]+[C]=[A]_0\implies[C]=[A]_0-[A]-[B]$ esitliginden $[C]$'yi bulabiliriz.

 

$[C]=[A]_0-[A]_0e^{-k_1t}-\dfrac{k_1[A]_0}{k_2-k_1}\left(e^{-k_1t}-e^{-k_2t}\right)$ olur.

 

 

$a)\quad n=2, m=1$

 

$$\begin{array}{lr}   \dfrac{d[A]}{dt}=-k_1[A]^2&&&&&(1 )  \\ \\ \dfrac{d[B]}{dt}=k_1[A]^2-k_2[B] &&&&& (2) \\\\ \dfrac{d[C]}{dt}=-k_2[B]&&&&& (3)   \end{array}$$

 

$(1)$'i cozerek baslayalim.

 

$\dfrac{d[A]}{dt}=-k_1[A]^{2}\implies \dfrac{d[A]}{[A]^{2}}=-k_1dt\implies \displaystyle\int[A]^{-2}d[A]=\int -k_1dt$

 

$-\dfrac{1}{[A]}=-k_1t+C_1\implies[A]=\dfrac{1}{k_1t-C_1}$ 

 

$t=0\implies [A]_0=\dfrac{1}{-C_1}\implies C_1=\dfrac{1}{-[A]_0}\implies [A]=\dfrac{[A]_0}{[A]_0k_1t+1}$

 

$(2)$ de yerine koyalim.

 

$\dfrac{d[B]}{dt}=k_1\left(\dfrac{[A]_0}{[A]_0k_1t+1}\right)^2-k_2[B]\implies\dfrac{d[B]}{dt}+k_2[B]=k_1\left(\dfrac{[A]_0}{[A]_0k_1t+1}\right)^2$ homojen olmayan lineer denklem elde edilir.

 

$x'+p(t)x=f(t)$ birinci dereceden homojen olmayan diff denklemin genel cozumunu hatirlayalim.

 

Interal carpani $\displaystyle\mu(t)=e^{\int p(t)dt}=e^{\int k_2dt}=e^{k_2t}$ olur. Her iki tarafi $\mu(t)$ ile carparsak

 

$e^{k_2t}\dfrac{d[B]}{dt}+k_2[B]e^{k_2t}=k_1\left(\dfrac{[A]_0}{[A]_0k_1t+1}\right)^2e^{k_2t}$

 

$\displaystyle\int\dfrac{d\left([B]e^{k_2t}\right)}{dt}dt=k_1[A]_0^2\int \dfrac{e^{k_2t}}{\left([A]_0k_1t+1\right)^2}dt$

 

 

$\displaystyle[B]e^{k_2t}=k_1[A]_0^2\int \dfrac{e^{k_2t}}{\left([A]_0k_1t+1\right)^2}dt$

 

Gorunen o ki cikmaz yola girdik..