(Olasılıkta) moment, moment çıkartan fonksiyon

Question

Merhaba arkadaşlar dün hoca derste moment ve moment çıkartan fonksiyon diye bir şey tanımladı. Ve dersin sonuna denkgeldi araya kaynadı. Araştırma yapmama rağmen kavrayamadım

Comments

Fonksiyonlari da yazabilir misin? Hagi kismini anlamadigini da.

---

Moment ve moment cikaran fonk tamamen beklenen degerin ozel hali..o zaman senin beklenen deger kavramiyla ilgili de bi sikintin olmali..zorlandigin kisimLari yazarsan daha net aciklayabilirim..bende daha taze ogrendim bu konuyu :)

Answer 1

Moment kavramı

(Adi moment): $g(x)=x^k$ fonksiyonunun beklenen değerine $"0"$ a göre k. Moment denir. Ve $m_k=E(x^k)$ ile gosterilir.

$m_k=\sum_{i=1}^{N}x_j^kf(x_j)$ (X kesikli rastgele degisken)

$m_k=\int_a^b x^kf(x)dx$ (X surekli rasTgele degisken ve $(a,b)$ araliginda tanimli)

(C.noktasina gore k. Moment): $E((x-c)^k)$  beklenen degerine $c$ noktasina gore k. Mertebeden moment denir.

Ozel olarak $c=m_1=\mu$ alinirsa buna merkezi moment denir. Ve $\mu_k$ ile gosterilir.

Mesela $\mu_2$ varyansa esittir. Neden diyecek olunursa

$\mu_2=E((X-\mu)^2)=E(X^2-2\mu X+\mu^2)=E(X^2)-2E(X)\mu+\mu^2=E(X^2)-\mu^2=Var(X)$ elde edilir.

Buradan yol alarak varyans icin momente bagli tanim da yapilabilir..

$Var(X)=m_2-m_1^2$ 

Burada $m_k$ adi moment $\mu_k$ merkezi moment olarak simgelendiriliyor.

Moment çıkaran fonksiyon

X rastgele degisken , $h>0$ ve $|t|<h$ olsun. Bu aralikta ki her $t$ degeri icin $e^{t}$ in beklenen degeri X'in moment iceren fonksiyonu olarak tanimlanir.

$(i)$ X kesikli rastgele degisken ve $f(x)$ onun olasilik fonksiyonu ise o zaman X'in moment cikaran fonksiyonu

$m_x(t)=E(e^{tx})=\sum_x e^{tx}f(x)$ dir.

$(ii)$ X surekli rastgele degisken ve $f(x)$ onun olasilik yogunluk fonksiyonu ise o zaman X'in moment cikaran fonksiyonu

$m_x(t)=E(e^{tx})=\int e^{tx}f(x)dx$ dir.

Moment cikaran fonksiyonu biliyorsak eger 

$\frac{d^n}{dt^n} m_x(t)|_{t=0}=m_n=E(X^n)$

Teoremi sayesinde momente gecis yapabiliyoruz..

(Bildiklerimi acik ifade edebilmisimdir umarim..kolay gelsin)