Moment kavramı
(Adi moment): $g(x)=x^k$ fonksiyonunun beklenen değerine $"0"$ a göre k. Moment denir. Ve $m_k=E(x^k)$ ile gosterilir.
$m_k=\sum_{i=1}^{N}x_j^kf(x_j)$ (X kesikli rastgele degisken)
$m_k=\int_a^b x^kf(x)dx$ (X surekli rasTgele degisken ve $ (a,b)$ araliginda tanimli)
(C.noktasina gore k. Moment): $E((x-c)^k)$ beklenen degerine $c$ noktasina gore k. Mertebeden moment denir.
Ozel olarak $c=m_1=\mu$ alinirsa buna merkezi moment denir. Ve $\mu_k$ ile gosterilir.
Mesela $\mu_2$ varyansa esittir. Neden diyecek olunursa
$\mu_2=E((X-\mu)^2)=E(X^2-2\mu X+\mu^2)=E(X^2)-2E(X)\mu+\mu^2=E(X^2)-\mu^2=Var(X)$ elde edilir.
Buradan yol alarak varyans icin momente bagli tanim da yapilabilir..
$Var(X)=m_2-m_1^2$
Burada $m_k$ adi moment $\mu_k$ merkezi moment olarak simgelendiriliyor.
Moment çıkaran fonksiyon
X rastgele degisken , $h>0$ ve $|t|<h$ olsun. Bu aralikta ki her $t$ degeri icin $e^{t}$ in beklenen degeri X'in moment iceren fonksiyonu olarak tanimlanir.
$(i)$ X kesikli rastgele degisken ve $f(x)$ onun olasilik fonksiyonu ise o zaman X'in moment cikaran fonksiyonu
$m_x(t)=E(e^{tx})=\sum_x e^{tx}f(x)$ dir.
$(ii)$ X surekli rastgele degisken ve $f(x)$ onun olasilik yogunluk fonksiyonu ise o zaman X'in moment cikaran fonksiyonu
$m_x(t)=E(e^{tx})=\int e^{tx}f(x)dx$ dir.
Moment cikaran fonksiyonu biliyorsak eger
$\frac{d^n}{dt^n} m_x(t)|_{t=0}=m_n=E(X^n)$
Teoremi sayesinde momente gecis yapabiliyoruz..
(Bildiklerimi acik ifade edebilmisimdir umarim..kolay gelsin)