En bastan baslayalim.
-
Elinde bir kume var: $V$.
-
Bu kumenin uzerinde toplama tanimliyorsun: $(V, +)$. Artik elinde bir kume ve bu kumenin uzerinde bir grup yapisi var. Ben kumenin uzerinde bir yapi oldugu an o kumeye artik uzay denmesi taraftariyim.
-
Bu yapinin uzerine bir de bu yapiyla uyum saglayan bir skaler carpma tanimliyorsun (cismine $C$ diyelim): $(V, +, \cdot_{C})$. "Bu yapiyla uyum saglayan" derken, vektor uzayi aksiyomlarindaki dagilma ozelligini kastediyorum.
-
Bunun uzerine bir de bu vektor uzayi yapisiyla uyum saglayan bir ic carpim ekliyorsun (cismin guzelse): $(V, + , \cdot_{C}, \langle - , - \rangle)$. Simdi elinde bir ic carpim uzayi var.
-
Ic carpim uzayi, senin de dedigin gibi bir normlu uzay yapisi veriyor: $(V, +, \cdot_{C}, \langle -,-\rangle, \| - \|)$. Bu normun guzel yani elindeki ic carpim uzayi yapisiyla uyum saglamasi ve ic carpim ile direkt bir iliskisi olmasi (karekok vs.).
Senin istedigin sey $V$ uzerinde baska bir norm tanimlamak. Bu tabii ki mumkun. Ayni sekilde $V$ uzerinde baska bir vektor yapisi da tanimlayabilirsin. Baska bir ic carpim uzayi yapisi da. Sanirim senin problemin biraz dil problemi.
" keyfi olarak pölder normunu tanımlar isem benim uzayımın normu pölder olacaktır. Bunda bir sakınca yoktur. "
evet. Dogru.
"Yani sonuç olarak bir iç çarpım uzayına istenilen her hangi farklı bir norm tanımlanabilir "
Bu da belki tamamen yanlis degil, ama ic carpim uzayi uzerinde baska bir norm tanimladiginda bu yeni normun ic carpimla bir iliskisi var mi? Yoksa tamamen bagimsiz bir norm mu? Bunun yerine su dili tercih edersen belki daha iyi olur:
"Yani sonuc olarak bir vektor uzayina istenilen herhangi farkli bir norm tanimlanabilir."
Ic carpim yapisini unut yani. Elinde iki tane normlu uzay yapisi var: $$(V, +, \cdot, \|-\|_1) \quad, \quad (V, +, \cdot, \|-\|_2)$$ Bunlardan bir tanesi ic carpimla uyumlu, bir tanesi uyumsuz olabilir. Ikisi farkli ic carpimlardan gelmis olabilir. Bir tanesi hicbir ic carpimdan gelmiyor olabilir vs vs. Elinde yalnizca iki tane normlu uzay varmis gibi dusun. Ic carpimi unut. Istersen, sonra tekrar hatirlarsin.