f(x)=$x^2+2x-3$ fonksiyonun (2,-11)noktasından geçen teğetlerinden birinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Question

A)y+2x=-14

B)y-14x=20

C)y+14x=20

D)y+2x=-7

E)y+x=-9

Nası düşünüyoruz?

D****

Comments

Fonksiyonun türevini alıp (2,-11) noktasındaki teğetinin eğimi bulunur(eğer nokta verilen fonksiyona ait ise). Sonra verilen nokta yardımıyla doğru denklemi $y-y_0=m(x-x_0)$ dan denklem bulunur.

---

İyi de hocam (2,-11) noktası fonksiyon üzerinde değil ki?

---

$(2,-11)$ noktasından parabole çizilen teğetler kastediliyor herhalde.

---

Evet öyle olmalı.Devamı nasıl gelecek hangi noktadan teğet çizildiği noktayı bilmiyoruz?

Answer 1

Bir adet $(a,(a+1)^2-4)$ noktasi al egri uzerinden. Verilen nokta ile bu nokta arasindaki egimi analatik geometriden bulabilirsin. Ayrica turevden dolayi bu egim $2a+2$'ye esit olmali. Burdan noktayi (noktalari) ve egimi bulabilirsin.

Answer 2

$y+11=m(x-2)$ bu noktadan geçen doğrulardır, biri hariç(hangisi?), ama o zaten teğet olamaz(neden?)

$m(x-2)-11$ parabolun denkleminde $y$ yerine yazılırsa , hangi $m$ için iki katlı kök (=teğet olma durumu)  ortaya çıkar?

Comments

Sanıyorum bir işaret hatası olmuş. Parabolün denkleminde $y$ yerine yazılması gereken $m(x-2)-11$ olmalı.

---

Teşekkürler, düzelttim.

Answer 3

Öncelikle düzlemin herhangi bir noktası $(x_0,y_0)$ için,

1) $f(x_0)<y_0$ ise bu noktadan bu parabole teğet çizilmez.

2) $f(x_0)=y_0$ ise bu noktadan bu parabole bir teğet çizilir.

3) $f(x_0)>y_0$ ise bu noktadan bu parabole iki farklı teğet çizilir.

Verilen nokta $(2,-11)$ olup, $f(2)=4+4-3=5>-11$ olduğundan bu noktadan bu parabole iki farklı teğet çizilir. Bu teğetlerden birisinin parabol üzerindeki $(a,b)$ noktasında teğet olduğunu varsayalım. 

Öncelikle bu nokta parabol denklemini sağlayacaktır. $b=a^2+2a-3............(1)$ dır.

Ayrıca bu noktadaki türev değeri doğrunun eğimine eşit olacaktır.

Yani $2a+2=\frac{b+11}{a-2}\rightarrow 2a^2-2a-b-15=0............(2)$ olacaktır.  $(1),(2)$ denklemlerinden $a^2-4a-12=0\rightarrow a=6,\quad a=-2$ ve bu değerlere karşılık olarak $b=-3,\quad b=45$ değerleri bulunur. Demek ki teğetlerin değme noktaları $(-2,-3),(6,45)$ dır. O zaman da teğet denklemleri: $y+11=-2(x-2)\rightarrow y+2x+7=0,$ ve $y+11=14(x-2)\rightarrow y-14x+39=0$ olarak bulunur.

Answer 4

Grafiği çizdikten sonra teğet noktasına $a$ yazarsak noktamız $(a,a^2+2a-3)$ olur ve o noktadaki türevleri aynı olur.

$f'(a)=2a+2=\dfrac{a^2+2a+8}{a-2} \to a=6, a=-2$ ,

$a=6$ olduğunda eğim $14$ olur ve teğetin denklemi şu şekildedir $y+11=14(x-2)$

$a=-2$ olduğunda eğim $-2$ olur ve teğetin denklemi şu şekildedir $y+11=-2(x-2)$