$m(\angle B)=90^0$ olmak üzere $\triangle ABC$ üçgenini çizelim. Bu üçgenin hipotenüsü üzerinde $|DC|<|AD|$ olacak şekilde bir $D$ noktası alalım, ve bu $D$ noktasından üçgenin dışına doğru $[DE//[BC],\quad [DF//[BA]$ çizelim. $C$'den $[DE$'ye çizilen dikmenin ayağı$H$, $A$'dan $[DF$'ye inilen dikmenin ayağı ise $K$ noktası olsun. Eğer $|CH|=a,\quad|AK|=b$ denirse dar koridorun eni $a$ ve geniş koridorun eni de $b$ kadar alınmış olacaktır ($a<b$).Ayrıca $|AC|$ de, yatay konumda bu koridorlardan geçebilecek en uzun merdivenin boyu olacaktır.
Eğer $m(\angle CDH)=\alpha$ olursa $m(\angle KDA)=90-\alpha$ olacaktır.
$\triangle CDH$ de $sin\alpha=\frac{a}{|DC|}\Rightarrow |DC|=\frac{a}{sin\alpha}......(1)$
$\triangle ADK$ de $sin(90-\alpha)=\frac{b}{|AD|}\Rightarrow |AD|=\frac{b}{cos\alpha}..(2)$ olur.
$(1),(2)$ den $|DC|+|AD|=|AC|=\frac{a}{sin\alpha}+\frac{b}{cos\alpha}=f(\alpha)........(3)$ elde edilir.$|AC|=f(\alpha)$'nın maksimum olması için türevini almalıyız.
$f'(\alpha)=\frac{-acos\alpha}{sin^2\alpha}+\frac{bsin\alpha}{cos^2\alpha}=0$ olacak ve
$\frac{acos\alpha}{sin^2\alpha}=\frac{bsin\alpha}{cos^2\alpha}\Rightarrow acos^3\alpha=bsin^3\alpha\Rightarrow tan\alpha=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$ bulunur.
Şimdi bir dar açısının ölçüsü $\alpha$ olan ve bu açının karşısındaki dik kenar uzunluğu $\sqrt[3]{a}$ diğer dik kenar uzunluğu $\sqrt[3]{b}$ olan bir dik üçgenden,
$sin\alpha= \frac {\sqrt[3]{a}}{\sqrt{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}}$ ve benzer olarak,
$cos\alpha= \frac {\sqrt[3]{b}}{\sqrt{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}}$ olarak bulunur. bu değerler $(3)$ de yerlerine yazılır ve düzenlenirse,
$|AC|=\frac{a. \sqrt{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}}{\sqrt[3]{a}}+\frac{b. \sqrt{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}}{\sqrt[3]{b}}$ olur. Paydalar rasyonel yapıldığında ,
$|AC|=\sqrt[3]{a^2}. \sqrt{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}+\sqrt[3]{b^2}. \sqrt{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}$
$|AC|=(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}) \sqrt{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}$
$|AC|=(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2})^{\frac 32}$ olacaktır.
Not:1) $a=11,\quad b=13$ değerleri için $|AC|$ yaklaşık olarak $33,901778$ bulunuyor.
2) $|AC| $ uzunluğunu maksimum yapan değerlerin( Sayın suitable2015 tarafından yapılan yardımla) $a=71$ birim, $b=73$ birim olduğunu ve bu değerlerde $|AC|=203,64020540433154$ birim olduğunu belirtmeliyim. Böylece maksimum merdiven uzunluğu $203$ birimdir.