Question

$\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}k^n=(-1)^nn!$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

İki tarafı $(-1)^n$ ile carpıp index değiştirince sol taraf

$\sum _{l=0}  ^n (-1)^l { n \choose l} (n-l)^n$

oluyor. Bu çok bilinen Sterling sayıları ile ilgili bir formül. Inclusion-exclusion (ekleme-çıkarma) prensipi ile elde edilen we tam olarak n elemanlı bir kümeden n elemanlı bir kümeye olan örten fonksiyonları sayan bir toplam. Dolayısı ile sağ tarafa yani $n!$ ifadesine eşit oluyor.