Question

Aşağıdaki eşitliği ispatlayınız:

$\arctan{\left (k\right )}=\sum_{n=0}^{k-1}\arctan{ \left( \frac{1}{n^2+n+1} \right)}$, $k\geq 1$

ve aşağıdaki eşitliği çıkarınız:

$\sum_{n=0}^{\infty}\arctan{ \left( \frac{1}{n^2+n+1} \right)}=\frac{\pi}{2}$

Answer 1

Tumevarimla ya da teleskopik seri ile ispatlamak icin: $k\geq0$ tam sayilari icin $\arctan (k+1)-\arctan(k)=\arctan(\frac{1}{k^2+k+1})$ oldugunu gostermek gerekir. Bunun icin de tanjant fark formlunu kullanabiliriz:  $$\frac{(k+1)-k}{1+k(k+1)}.$$

Bu durumda da $$\lim\limits_{k \to \infty}\sum_{n=0}^{k}\arctan \bigg(\frac{1}{n^2+n+1}\bigg)=\lim\limits_{k \to \infty} \arctan{(k+1)}=\frac{\pi}2$$ olur.