Sanal ikinci dereceden sayı cismi içindeki mertebeler

Question

Tanım: $\mathcal{K}$, $\mathbb{Q}$ üzerinde sonlu üretilmiş (finitely generated) bir $\mathbb{Q}$-cebri ($\mathbb{Q}$-algebra) olsun. $\mathcal{K}$'nın bir alt halkası (subring) olan $\mathcal{R}$, $\mathcal{R}\otimes \mathbb{Q}=\mathcal{K}$ eşitliğinin sağlanması durumunda mertebe (order) adını alır.

Örnek: Diyelim ki $\mathcal{K}$ sanal ikinci dereceden sayı cismi (imaginary quadratic number field) ve $\mathcal{O}$ da $\mathcal{K}$'nın tamsayılar halkası (ring of integers) olsun. Bu durumda her $f\geq 1$ tamsayısı için, $\mathbb{Z}+f\mathcal{O}$ halkası $\mathcal{K}$'nın bir mertebesidir.

Soru: Yukarıdaki örnekte her $f\geq 1$ tamsayısı için, $\mathbb{Z}+f\mathcal{O}$ halkasının $\mathcal{K}$'nın bir mertebesi olduğunu söyledik ve bunu görmek gayet kolay. Diğer taraftan $\mathcal{K}$'nın tüm mertebeleri bu formda olmak zorundaymış. Neden?

---

Şimdiye kadar gördüğüm her kaynakta bu özel sayı cisminin mertebelerinin tanımı buydu. Görünen o ki genel bir ifadenin sonucuymuş.

---

Tanım ve örnek için The Arithmetic of Elliptic Curves, Silverman, İkinci baskı, sayfa 100. 

Soru için The Arithmetic of Elliptic Curves, Silverman, İkinci baskı, sayfa 109, Soru 3.20.

Comments

Neden "order" deniyor bunlara, biliyor musun?

---

Maalesef. Ama soruyu çözdüm sanırım :) İlk fırsatta açıklayacağım.

Answer 1

$K$ ikinci dereceden sayi cismi ve $1,w$ de bu sayi dogal (canonical) integral sayi bazi olsun. $R$ halkasi da $K$ cisminin bir mertebesi olsun.

$\mathcal O/R$ sonlu olacagindan, bunun mertebesine $m$ diyelim. (Mertebe denmesinin sebebi bu olabilir mi? Bilemedim). Bu demek oluyor ki $m \mathcal O \subset R$. Yani $mw \in R$.

Simdi $f$ pozitif tam sayisi $fw \in R$ sartini saglayan en kucuk pozitif tam sayi olsun.

$r \in R$ alalim. $R \subset O$ oldugundan $r=s+tw$ seklinde yazabiliriz, $s,t \in \mathbb Z$. 

$t=fb+a$ seklinde $a,b \in \mathbb Z$ ve  $0 \leq a <f$ sartiyla yazalim. Bu durumda $$aw=r-fbw-s \in R$$ olur. $f$ bu sarttaki en kucuk tam sayi oldugundan $a=0$ olmali. Yani $r=s+fw \in \mathbb Z+f\mathcal O$ olmali.

Comments

Benim sordugum "Neden 'order' deniyor bunlara?" sorusunun niyeti suydu: Belki de "mertebe" anlaminda kullanilmiyordur, "siralama" ya da baska bir anlamda kullaniliyordur.

---

Order ile hic baglanti kuramiyorum.

---

Ben de hic bilmiyorum.