Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
735 kez görüntülendi
Lisans Matematik kategorisinde (60 puan) tarafından  | 735 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Kısmî integral iş görmeli: xlnx=u,dv=dx
alalım. Buradan du=2lnxxxlnx
 buluruz. Kısmi integral ifadesine koyarsak: xlnx+12lnxxlnxdx
bulunur. Bu aşamada lnx=t dönüşümü yaparsak, o zaman son integral lnxxlnxdx=tetet2dt
halini alır. Yine kısmi integrasyonla, tet2dt=dv,u=et
ile 12etet212etet2dt
bulunur. Son integralde içerisini e1/4 ile bölüp çarpınca, e'nin üstündeki kısım tam kare olur: e(t+12)2. Bu ifade ise elemanter fonksiyonlar cinsinden yazılamaz. Şimdi hepsini toparlayalım: 
xlnx+1(xlnx+1e1/4e(t+12)2dt),
=e1/4e(t+12)2dt
Sonuçta açık şekilde integre etmek mümkün değil! Kompleks hata fonksiyonu cinsinden ise, 
xlnxdx=e1/4e(t+12)2dt=e1/4π2erfi(t+12)
ve xlnxdx=π4e1/2erfi(lnx+12)+C
bulunur. 
Fakat Louville'in teoremine dayanara pek işlem yapmadan da bilebilirdik elemanter olarak intergre edilemeyeceğini! 
Bu teoremi uygulayabilmek için integrandın feg şeklinde olması lâzım (gsabit). Bu teoreme göre eğer, f=a+ag
birinci mertebeden lineer diferansiyel denklemini sağlayan a rasyonel fonksiyonu mevcutsa, o zaman feg de rasyonel fonlsiyonlar cinsinden integre edilebilir demektir! Oysa, bu denklemin genel çözümü, kolayca gösterilebilir ki, 
a=exexxlnx1dx+Cex
şeklindedir. Bunun sonucu ise sanırım olumsuzdur. Olumsuz derken interge edilemez demek istedim.
Keşke burada birileri Louville teoremini ve sonuçlarını genişçe açıklasa da istifade etsek!
(1.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

yorumunuz için teşekkür ederim.

20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,091,933 kullanıcı