$kp + 1$ Dereceli Polinomlarin Kokleri ile Ilgili Bir Soru

Question

Suradaki linkteki soruya baska nasil bir cevap verebiliriz? diye dusunuyorduk. $\mathbb{C}$ cismi $\mathbb{R}$'nin cebirsel kapanisi ve bu derecesi $2$ olan bir genisleme. Elimizde bir reel sayi varsa, bunun minimal polinomunun derecesi $1$, reel olmayan bir karmasik sayi varsa bunun minimal polinomunun derecesi de $2$ olmali. Eger elimizde katsayilari reel sayilar olan bir polinom varsa, bunu carpanlara ayirdigimizda derecesi $1$ veya $2$ olan polinomlar elde etmeliyiz. Eger butun kokler karmasik ise, bu carpanlarin hepsinin derecesi $2$ olmali. Bu da polinomun derecesinin cift olmasini gerektirir. Demek ki, eger polinomun derecesi tek ise, butun kokler karmasik olamaz. En azindan bir tanesi reel olmali.

Bunu, suna genellestirebilir miyiz: 

$F$ bir cisim olsun. $\overline{F}$'nin ($F$'nin cebirsel kapanisinin), $F$'nin derecesi $p$ (asal) olan bir genislemesi oldugunu kabul edelim. Eger $f$, derecesi $1 \mod p$ olan bir polinom ise koklerinden en az bir tanesi $F$'de olmalidir.

Yukaridaki argumanin aynen calismasi lazim. Minimal polinomlarin derecelerinin $1$ ya da $p$ olmasi lazim. Eger $1 < q < p$ olsaydi bir $\alpha$ elemanin minimal polinomunun derecesi, o zaman $F[\alpha]$ derecesi $q$ olan ve $\overline{F}$'nin altinda kalan bir genisleme olacakti. Ama $q \not | p$, Galois teori (ya da cisim teorisi) buna izin vermez.

1. Bu soyledigim dogru mu?

2. Ayni sey aslinda $p$'nin kati olmayan her derece icin gecerlidir? Neden olmasin?

3. Cebirsel kapanisinin genisleme derecesi 3 olan bir cisim ornegi verebilir misiniz?

Comments

Haklısın abi.

Answer 1

$f$, derecesi $kp+l$ olan bir bir polinom olsun. İlk gözlem şu. Eğer $deg f\leq p-1$ ise $f$ lineer çarpanlarına ayrılır. Buradan yapılacak ikinci gözlem şu. Eğer $f$'nin $\alpha\notin F$ gibi bir kökü varsa ve $g$ de $\alpha$'nın minimal polinomuysa $g$'nin derecesi $p$ olmalı. $f/g$'nin derecesi $(k-1)p+l$ olduğu için $mod p$'de $l$'dir ve $f$'nin derecesinden büyüktür. O halde tümevarım gereği $F$ içinde bir kökü vardır.

Comments

Bir satırlık ispat da var: Polinomun $F$ içinde kökü yoksa bütün köklerinin derecesi $p$ olmak zorunda ol zaman polinomun derecesi $p$'ye bölünür.