10 tl'deki Cahit Arf'ın denkleminin olayı nedir?

Question

Answer 1

Yanıt ek önbilgi gerektirmesin diye (neredeyse) tüm ilgili kavramları yazmaya çalışacacağım. Haliyle uzun olabilir.
(Dedim ama çok eksik var, toparlayan olursa çok memnun olurum)

$C$ hep bir cisim, $V$ de hep bir vektör uzayı olsun.

Tanım(karakteristik):$C$ cisminin birim elemanını $1$ ile gösterelim. $n\in \mathbb{N}$ için $\sum_{i=1}^n 1$'yi sıfıra eşit yapan en küçük $n$ sayısına $C$'nin karakteristiği denir ve $kar(C)=n$ olarak gösterilir. Şayet her $n\in\mathbb{N}$ için $\sum_{i=1}^n 1\neq 0$ geçerliğiyse, $C$'nin karakteristiği $0$ olarak tanımlanır.

Tanım(çifte doğrusal form, ingl. bilinear form): $f:V\times V\rightarrow C$ göndermesine, eğer her $x,y,z\in V$ ve her $\lambda\in C$ aşağıdaki şartları sağlarsa çifte doğrusal form denir:
$$\begin{equation} f(\lambda y+z,x)=\lambda f(y,x)+f(z,x) \\ f(x,\lambda y+z)=\lambda f(x,y)+f(x,z) \end{equation}$$
Ayrıca $\forall x,y\in V: f(x,y)=f(y,x)$ ise $f$'ye simetrik çifte doğrusal form denir.

Tanım(karesel form, ingl. quadratic form):  $q:V\rightarrow C$ göndermesine, eğer aşağıdaki şartları sağlarsa karesel form denir:
$$\begin{equation} q(\lambda x)=\lambda^2 q(x), \text{           } \forall x \in V \text{ ve } \forall \lambda\in C \end{equation}$$
$$\begin{equation} f_q:V\times V\rightarrow C, f_q(x,y)=q(x+y)-q(x)-q(y) \text{ bir çifte doğrusal form tanımlar. (*)} \end{equation}$$
Ayrıca yukarıdaki bağıntıyı geçerleyen $f_q$ çifte doğrusal formu ve  $q$ karesel formu ile donatılmış C cismi üzerindeki $V$ vektör uzayına karesel uzay denir.
Örnek( veya düzgün karesel formun tanımı):  Çokkatsayılı ikinci dereceden polinomlar yani $V$ sonlu boyutlu,
$x:=(x_1,...,x_n)\in V, \lambda_{ij}\in C$ için $q(x):=\displaystyle \sum_{1\leq i\leq j\leq n}\lambda_{ij}x_i x_j$  karesel form tanımlar ve bunlara $kar(C)\neq 2$'de özel olarak düzgün karesel form denir.
 
Not: $kar(C)=2$ olması karesel formun özelliklerini büyük ölçüde değiştirir (Cahit Arf'ın aşağıdaki teoreminde de aynı şey söz konusu olacak.). Bunu $kar(C)\neq 2$'li bir cisim için her simetrik çifte doğrusal göndermenin, kendisini 'üreten' tam tamına bir tane karesel form olabileceği savında görüyoruz ($=2$ için doğru değil, sonraki cümleyi anlamak için bunları kendiniz kanıtlamaya çalışın). Daha da önemlisi $q(x)$'yu vektörün uzunluğunun karesi ($\vert x\vert ^2$ ile gösterelim), $\frac{1}{2}f_q(x,y)$'yi de vektörlerin iç çarpımı ($x\cdot y$ ile gösterelim) olarak yorumlarsak, $kar(C)\neq 2$ için beklendiği gibi $x\cdot x=\vert x\vert^2$ olurken,$kar(C)=2$'de  $x\cdot x\equiv \frac{1}{2}f_q(x,x)=q(2x)-q(x)-q(x)=2q(x)\equiv 2 \vert  x\vert^2 =(1+1)\vert  x\vert^2=0$ yani bu (her ne kadar garip gelse de) her vektörün kendine dik olduğunu ifade etmektedir.

Tanım(karesel formların denkliği): İki karesel forma; eğer biri, diğerinden yozlaşmış/dejenere olmayan $C$-doğrusal ($x=(x_1,...,x_n)$  değişken) dönüşümüyle elde edilebiliyorsa birbirine denk denir.

Tanım(dik doğrudan toplam, ingl. ortogonal direct sum): $(V_1,f_1)$ ve $(V_2,f_2)$ iki tane simetrik çifte doğrusal formla donatılmış vektör uzayı olsunlar. İki vektör uzayının $V:=V_1\oplus V_2$ doğrudan toplamı 2 ile $x_1,y_1\in V_1$, $x_2,y_2\in V_2$ için $f((x_1,x_2),(y_1,y_2)):=f_1(x_1,y_1)+f_2(x_2,y_2)$ olarak tanımlı simetrik çifte doğrusal formunun oluşturduğu ikiliye  $(V_1,f_1)$ ve $(V_2,f_2)$'nin dik doğrudan toplamı denir ve ikilinin uzayı  $V_1\perp V_2$ ile gösterilir (veya daha fazla uzay için $\perp\displaystyle \sum_{i=1}^n V_i:=V_1\perp ... \perp V_n$ ).

Not: Dik çünkü $x\in V_1,y\in V_2$ için $f((x,0),(0,y))=f_1(x,0)+f_2(0,y)=0+0=0$ yani $V_1$ ve $V_2$ birbirlerine $f$'ye göre diktirler.

Sav: $kar(C)\neq 2$'de her karesel formun bir kendine denk 'köşegensel' karesel formu vardır:
$q(x)=\sum_{1\leq i\leq n} a_i x_i^2$, $a_i\in C$.
Ya da karesel uzay bağlamında her karesel uzay $V$, $q(u_i)=a_i$ sağlayan bir $u_1,...,u_n\in V$ dik tabanına sahiptir. Diğer bir deyişle $V$ bir boyutlu karesel altuzayların dik doğrudan toplamıdır:
  $$\begin{equation}kar(C)\neq 2 \text{ için } V=\perp\displaystyle\sum_{1\leq i\leq n}C u_i\end{equation}$$

Not: Burada $Cx$, ($x\in V$ için) $Cx:=\{cx:c\in C\}$ demek.

Ama $kar(C)=2$ genel durumu için  en azından iki boyutlu altuzayları da ilave etmemiz gerekiyor:

Sav(Arf[1]): $boy(V)=n$ ise
$$\begin{equation} kar(C)= 2 \text{ için }V=\perp\displaystyle\sum_{1\leq i\leq r}(C u_i+C v_i)+\perp\displaystyle\sum_{1\leq j\leq s}(C w_j) \end{equation}$$
, burada $f_q(u_i,v_i)\neq 0$ (devamda normallemeyle $f_q(u_i,v_i)=1$ seçtiğimizi varsayıyoruz.) ve $n=2r+s$. O zaman karakteristik ikide  $q$ karesel formunun şöyle bir denk karesel formu vardır:
$$\begin{equation}q(x)=\displaystyle\sum_{1\leq i\leq} r(a_i x_i^2+x_i y_i+b_i y_i^2)+\displaystyle\sum_{1\leq j\leq s}c_j z_j^2 \end{equation}$$ şayet
$$\begin{equation} x=\displaystyle\sum_{i\leq i\leq r}(x_i u_i+y_i v_i)+\displaystyle\sum_{1\leq j\leq s}z_j w_j \end{equation}$$ ve $a_i)q(u_i)$, $b_i=q(v_i)$ ve $c_j)q(w_j)$ ise.

Tanım(karesel form için değişmez): Değişmez, bir karesel forma ilintilenen eğer bir formun yerini başka bir denk form aldığı takdirde değişmeyen matematiksel büyüklüktür. Karesel uzaylar için ise, uzaylar arasındaki izomorfizmalar tarafından değişmeyen büyüklükler kastedilir.

Tanım(Cebir): Bir $C$ cismi üzerindeki $A$ cebiri,  'çarpım' adı verilen $C$-çifte doğrusal göndermeli $\cdot:A\times A\rightarrow A$ $C$-vektör uzayı olarak tanımlanır.

Tanım(Clifford cebiri): Bir $(V,q)$ karesel uzayının Clifford cebiri $Cliff(V,q)$   aşağıdaki tanımlayıcı ilişkiye sahip olan ve elemanları $V$'den oluşan birleşmeli $C$-cebiridir:
$$\begin{equation}x^2=q(x), \ \ \forall x\in V (**)\end{equation}$$
ya da (*)'den dolayı $$\begin{equation}xy+yx=f_q(x,y)\ \ \forall x,y\in V\end{equation}$$

Sav: Eğer $u_1,..,u_n$ $V$'nin bir $C$-tabanıysa, o zaman $Cliff(V)$'nin $C$ tabanı $i_1<i_2<\cdots<i_k$ ve $0\leq k\leq n$ olacak şekilde $u_{i_1}u_{i_2}\cdots u_{i_k}$'dir ve $Cliff(V)$'nin $C$-boyutu $2^n$'ye eşittir.

Sav: $\text{Cliff}(V)$ $V$'nin bir değişmezidir. Eğer $\text{Cliff}_0(V)$; $\text{Cliff}(V)$'nin  $k$ çift sayılı çarpanlı $u_{i_1}u_{i_2}\cdots u_{i_k}$ çarpımı ile üretilmiş bir alt cebiri ise, o da $V$'nin bir değişmezidir (çünkü (**) ikinci dereceden). $\text{Cliff}_0(V)$'nin $C$-boyutu ise $2^{n-1}$'dir.

Sav: $$\begin{equation} kar(C)= 2 \text{ ise: } V=V_1\perp V_2\rightarrow \text{Cliff}(V)=\text{Cliff}(V_1)\otimes \text{Cliff}(V_2)\end{equation}$$

Tanım(ikili/iki boyutlu karesel uzay, ingl. binary quadratic space): Bir ikili uzayı $V$; iki eleman ($u,v$) üzerinden tanımlanır: $$\begin{equation}(***) q(u)=a, q(v)=b, f_q(u,v)=1 \end{equation}$$
Clifford cebiri $\text{Cliff}(V)$'nin ise şu bağıntıları vardır:
$$\begin{equation} u^{2}=a, v^{2}=b, uv+vu=1 \end{equation}$$ .
Bu $1,u,v,uv$ $C$-tabanına sahip dörtlü/dört boyutlu ana basit cebirdir. Çift altcebir $\text{Cliff}_0(V)$ iki boyutludur ve taban elemanları
$(uv)^2+uv=uv(vu+1)+uv=u^2v^2=ab$'yi geçerleyen
$1$ ve $uv$'dir. $w:=uv$ alıp Artin-Schreier işlemcisi $\mathcal{P}(X):=X^2+X$'yi kullanırsak:
$$\begin{equation} \text{Cliff}_0(V)=C(w) \text{, }\mathcal{P}(w)=ab \text{ için} \end{equation}$$

Comments

eline sağlık

Answer 2

Sav($ab\notin \mathcal{P}(C)$):  $ab\notin \mathcal{P}(C)$ ise $C(w)$ ayrılabilir karasel cisim uzantısıdır. O zaman bu cisim $ab\ mod\mathcal{P}(C)$'nin kalan sınıfı tarafından biricik olarak belirlenir. $C(w)$'nin otomorfizması o zaman

$$\begin{equation} u^{-1}wu=vu=w+1 \end{equation}$$ tarafından belirlenir.
$u^{2}=a$ olduğundan $\text{Cliff}(V)$; $C(w)$ ayrıştırılabilir karesel cisminin bir  devirli çapraz çarpımıdır ve onun çarpan sistemi $a\in C^{\times}$ modülo $C(w)^{\times}$'nın norm grubu aracılığıyla belirlenir.

Buradan ilk karesel form $q(x,y)$'ya (daha doğrusu ona denk bir forma) $N:C(w)\rightarrow C$ norm göndermesiyle gelebiliriz:
$$\begin{equation} a\cdot N(x_1+x_2 w)=a\cdot (x_1+x_2 w)(x_1+x_2(w+1))\\ =ax_1^2+x_1(ax_2)+b(ax_2)^2=q(x_1,ax_2).(****) \end{equation}$$
Bu formülü şöyle algılayabiliriz: $C(w)$; norm göndermesi $N:C(w)\rightarrow C$'ye göre bir karesel uzay olarak görülebilir. $aN:C(w)\rightarrow C$ karesel formuyla ölçeklendirilmiş uzay $C(w)^{(a)}$'yi inceleyelim (Her karesel uzay $(V,q)$ bir $0\neq a\in C$ ölçeklendirilebilir=$(V,q)$ yerine $(V,cq)$ almak). O zaman (****) $C(w)^{(a)}$'nin $V$'ye izomorfik bir karesel uzay olduğunu söyler. Bu izoformizma da $1$ $u$'ya ve $w$'yi $a^{-1}v$'ye atayan izomorfizmadır. Sonuç olarak:
$V$ karesel uzayının resim kümesi  $q(V)$,  $C(w)$'den normların $a$'yı içeren eşkümesine eşittir, yani $$\begin{equation} q(v)=a\cdot N(C(w)) \end{equation}$$
Sav($ab\in \mathcal{P}(C)$): $ab\in \mathcal{P}(C)$ durumunda $C(w)$ bir cisim olmayıp; $C$'nin iki kopyasının doğrudan çarpımına ayrıştırılabilir, bir değişmeli  $C$-cebiridir.

$c\in C$ için $ab=\mathcal{P}(c)$ ve $e_1=w+c$ ve $e_2=e_1+1$ seçerek $e_1,e_2$ kareeşlerini bulabiliriz ve $C(w)=C e_1\oplus C e_2$ olur.$V$'nin tabanı $u,v$'yi uygun bir şekilde seçerek $u^2=a\neq 0$ olması sağlanabilir ve de o yaman $u$'nun $A$'da bir tersi var olur ve de $u^{-1}wu$, $C(w)$'nin -$e_1$, $e_2$'nin permütasyonu olan- otomorfizmasının varlığına işaret eder. Bu yüzden de $\text{Cliff}(V)$, -$a\in C$ elemanı modülo $C(w)$'nin normlarıyla  belirlenen- $C(w)$'nin çapraz çarpımıdır. Ama aynı zamanda her $a\in C$ de $C(w)$'nin bir normudur ve $\text{Cliff}(V)$ ayrılabilir. Böylece (****) hala geçerlidir. Yine de $ab\notin \mathcal{P}(C)$ ile arasında bir fark vardır: $ab\notin \mathcal{P}(C)$'da $V$ karesel uzayı anizotropikken yani sadece $x=0$ için $q(x)=0$ (izotropikliğin tanımı da bunun tersi) iken (bunu (****)'de $C(w)$'nin cisim olmasından ve böylece de $z\neq 0$ için $N(z)\neq 0$'dan çıkarıyoruz),
 $ab\in \mathcal{P}(C)$ $N(e_1)=N(e_2)=0$'dan dolayı izotropiktir.
 
Tanım(hiperbolik düzlem): $ab\in \mathcal{P}(C)$ $N(e_1)=N(e_2)=0$ durumunda, karesel form $q(x_1,x_2)=x_1x_2$'ye denktir ve ilgili karesel uzaya -$H$ diyelim- hiperbolik düzlem denir.
 
Tanım(ikincil uzay için Arf değişmezi): $ab$ modülo $\mathcal(P)$'nin kalan sınıfı, $C(w)=\text{Cliff}_0(V)$ tarafından belirlendiğinden ötürü $V$'nin bir değişmezidir ve ona $V$ ikincil uzayının Arf değişmezi denir:
  $$\begin{equation} \text{Arf}(V)\equiv ab mod \mathcal{P}(C) \end{equation}$$

Teorem: $V=Cu+Cv$ (***)'yi sağlayan düzgün bir ikincil karesel uzay olsun. O zaman Clifford cebiri $\text{Cliff}(V)$ $C$ üzerinde dörtlü cebirdir. $\text{Arf}(V)$ ve $\text{Cliff}(V)$  $V$'yi bir izomorfizmaya kadar belirler. $V$ ancak ve ancak $\text{Arf}(V)\equiv 0mod \mathcal{P}(C)$ ise izotropiktir ve o halde V hiperbolik düzlem $H$'ye eşittir.

Tanım(Arf değişmezi): $V$ herhangi, bir karekteristiği iki olan $C$ cismi üzerinde tanımlı düzgün bir karesel uzay olsun. O zaman  -$V_i=<u_i,v_i>$, $V=\perp\displaystyle_{1\leq i\leq r}V_i$ ve $1\leq i\leq r:$ $q(u_i)=a_i,q(v_i)=b_i, f_q(u_i,v_i)=1$. Ve de Arf değişmezi (yüksek boyutlu uzay için) $\text{Arf}(V)\equiv \displaystyle\sum_{1\leq i\leq r}\text{Arf}(V_i) \text{mod}\mathcal{P}(C)\equiv \displaystyle\sum_{1\leq i\leq r}q(u_i)q(v_i) \text{mod}\mathcal{P}(C)$ olarak tanımlanır.

10TL'nin üzerinde bir özel durum için -$C=\mathbb{Z}\setminus \mathbb{Z}_2$ (kelime oyunu) Arf değişmezinin tanımı (yani denklem değil) yazılmış.

Sav(Arf değişmezi): $V$; -$V_i=<u_i,v_i>$, $V=\perp\displaystyle_{1\leq i\leq r}V_i$ ve $1\leq i\leq r:$ $q(u_i)=a_i,q(v_i)=b_i, f_q(u_i,v_i)=1$-  olarak gösterilen  iki boyutlu uzayların  dik toplamlarıyla betimlenen   bir düzgün karesel uzay olsun.Her $i$ için $\mathcal{P}(w_i)=a_i b_i$ olmak üzere $\text{Cliff}_0(V)=C(w_i)$  olsun. $\mathcal{P}(w)=\displaystyle\sum_i a_i b_i$ sağlansın diye $w=\sum_i w_i$ olsun. O zaman $C(w)$'nin karesel uzantısı $\text{Cliff}_0(V)$'nin merkezine eşittir ve Artin-Schreier teorisine göre $\sum_i a_i b_i$ sınıfı, $V$'nin bir değişmezidir.

Ama ve ama herşeyin esprisi aslında şu:
Teorem (Arf[1]): Karakteristiği 2 olan $C$ cismi, üzerinde tanımlanan her boyutu dörtten fazla olan her düzgün karesel uzayı isotropik 'yapsın'. O zaman $C$ üzerinde tanımlı her düzgün karesel uzayı I)boyutu, II)Clifford cebiri ve III)Arf değişmezi tarafından biricik olarak belirlenebilir.

Not: Teoremin önşartını daha kullanılabilir kılmak için Arf'ın öne sürdüğü başka bir teoremin yanlış olduğu ortaya çıkmış ve doğru hali R. Baeza tarafından 1982'de kanıtlanmıştır (daha fazla bilgi bkz. [2]).

Nota bene: Yukarıda yazdıklarımın çoğunu [2]'den alıntıladım, yazarları olan sayın profesörlere teşekkürlerimi sunarım.

[1]Cahit Arf, I. J. Reine Angew. Math.,(1941), 183:148-167
[2]Falko Lorenz, Peter Roquette, Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg Bd. XXX (2011), 87-126. Bu makale http://sertoz.bilkent.edu.tr/arf.htm sayfasından bulunabilir.

Comments

Eline saglik. Ikinci dereceden (ya da kare) formlar hakkinda benim de bir sorum vardi, bu kadar tanimi gorunce soruyu buraya ekleyeyim dedim. soru-link.