(2) mP ile k[x1,…,xn] halkasinda P=(p1,…,pn)'ye karsilik gelen maksimal ideali gosterelim. Yani, mP=(x1−p1,…,xn−pn)
O zaman,
mP/m2P vektor uzayi
1-formlar tarafindan gerilecek:
mP/m2P={a1(x1−p1)+…+an(xn−pn):ai∈k}
Bu vektor uzayinin duali ne peki? Sunu gormek zor degil:
∂∂(xi−pi)(xj−pj)=δij
Dolayisiyla, dual uzayin
∂∂(xi−pi) operatorleri ile gerildigini (ya da bu operatorlere gerilen uzaya dogal olarak izomorf oldugunu) soyleyebiliriz. Ustelik,
∂∂(xi−pi)=∂∂xi
oldugu icin, dual uzayin
∂∂xi ile gerildigini dusunebiliriz. Hatta,
∂∂xi|P
elemanlari ile gerildigini de dusunebiliriz. Evet, boyle dusunelim.
(3) Simdi, basit ama yararli bir gozlem yazalim. P∈V⟺f(P)=0⟺f∈mP
Bir de,
k[V]'nin tanimini yazalim.
k[x1,…,xn]/(f)
O halde, sunu da yazabiliriz:
MPM2P=mPmP+(f)
(4) Simdi lineer cebirden sunu hatirlayalim: Eger, U bir vektor uzayi ve W bir altuzay ise, (U/W)∗={g∈U∗:g(U)=0}
O halde, bu gozlemi (2) ve (3) ile birlestirirsek
(MPM2P)∗=(mPm2P+(f))∗≅{(a1,…,an):a1∂f∂xi(P)+…+an∂f∂xn(P)=0}
Ama bu tam olarak soru da verilen
T teget uzayi! Demek ki,
(MPM2P)∗≅T
ya da iki tarafinda dualini alarak soruda istenilen gibi
MPM2P≅T∗=Homk(T,k)